恆寬曲線（Curve of Constant Width）

恆寬曲線（Curve of Constant Width）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：本篇文章從「恆寬曲線」談起，最後回到圓的定義，藉由恆寬與圓的差別體會圓的精妙。

何謂恆寬曲線

工程上稱某種曲線為「恆寬（constant width）曲線」：平面上一凸形封閉曲線，不論如何轉動，其寬度永遠不變，則稱之。所謂「寬度」是指平行線夾住某封閉曲線時，平行線間的距離即是。簡單說來，若以恆寬曲線作為輪子，並在其上放置板子，則乘客於上頭並不會顛簸；反之，若其非恆寬曲線，則當輪子轉動時板子間的寬度就改變了，乘客想必非常暈眩；舉例來說若用梯形當輪子，因為一轉動板子間的寬度就變了，所以梯形不是恆寬曲線。

由以上定義我們可以簡單推知圓是恆寬曲線，反之正方形則不是恆寬曲線；那麼，是不是只有圓是恆寬曲線呢？即是不是只有圓形輪子不會使乘客顛簸？

羅勒斯三角形

以上問題的答案是否定的，事實上，有無限多種恆寬曲線，在此只舉一個最簡單的例子「羅勒斯三角形（Reuleaux Triangle）」為讀者說明。

「羅勒斯三角形」是由正三角形衍生的，它並不是三角形。若我們以正三角形邊長為半徑，並以各個頂點為圓心畫弧，如下圖左，則由 $$AB$$ 弧、$$BC$$ 弧、$$AC$$ 弧圍成的形狀即為羅勒斯三角形。

若以羅勒斯三角形為輪子，在其上放置板子，則板子和地面之間的距離永遠都是原正三角形的邊長，如下圖右，故羅勒斯三角形為一恆寬曲線。

由羅勒斯三角形可製造出一種鑽頭，這種鑽頭可以鑽出正方形孔。另外，有興趣的人可以自己動手做四個羅勒斯三角形，並以原正三角形的重心為輪軸，在其上放置板子滾動，將會發現板子始終平穩。

萬中選一的圓

這麼一來，很自然就會衍伸出另一個問題：為什麼輪子不做成羅勒斯三角形？筆者在介紹完羅勒斯三角形以後，幾乎每個班級都有學生主動提出這個疑問，最直覺的原因是羅勒斯三角形感覺上比圓形難做多了，然而，背後還有更重要的原因，讓我們回到輪子與板子的問題，在實際生活裡板子並不是直接放在輪子上方，而是放在「輪軸」上，所以我們對輪子的要求並不僅止於「恆寬」，而應該是「存在一點（輪軸），使得滾動中任一與地面接觸的點與之距離恆為定值」，不難發現，即為圓的定義。

羅勒斯三角形沒有以上的性質，只有圓有這個特性，身為一個數學人，圓的定義想必早已熟悉，以下給出幾個說法，由字多至字少排列：

• 一條線構成的平面圖形；使得平面上有一點，這點到該圖形上任一點所連之直線段長度相等。
• 圓，一中同長也。（墨子）
• $$\overline{OP}=r$$ （如圖）

看著以上簡單的圓定義，再加上了解什麼是恆寬曲線，不知道有否更感受到圓定義的精妙，畢竟只用「恆寬」定義圓還不夠呢！

參考資料：

1. 葛登能。詭論、鋪磁磚、波羅米歐環。台北市：天下。