多項式函數圖形的巨觀與微觀（Global and Local Perspectives of the Graphs of Polynomial Functions）

多項式函數圖形的巨觀與微觀（Global and Local Perspectives of the Graphs of Polynomial Functions）
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

摘要：闡明多項式函數的圖形，巨觀而言由首項決定，微觀而言由其泰勒形式的低次項決定。

所謂「巨觀」是指當函數 $$y=f(x)$$ 的自變數在一個頗大的範圍 $$-A\leq x\leq A$$ 之中的函數圖形，其中 $$A$$ 是一個「頗大」的正數。相對地，所謂「微觀」是指在某個給定的自變數 $$c$$「附近」的函數圖形，例如自變數在 $$c-\varepsilon\leq x\leq c+\varepsilon$$ 範圍之中，其中 $$\varepsilon$$（讀作epsilon）是數學文件中習慣用來表示「微小正數」的符號。

• 巨觀

先看巨觀。例如 $$f(x)=-x^{3}+5x^{2}-8x+4$$ 在 $$x\leq x\leq3$$ 範圍內的圖形如下，它看起來有些「曲折」。

但是，如果在 $$-5\leq x\leq5$$ 範圍內繪圖，則因為 $$y$$ 的範圍在 $$\pm 125$$ 之間，在一塊合適的區域內繪圖，實務上已經不能用一致的單位長，而必須採用 zoom-out 的手法表現，如下圖。此時，圖形看起來就像 $$y=-x^3$$ 的圖形，向右稍微平移了一點。

如果再擴大繪圖的範圍，例如取 $$-40\leq z\leq 40$$ ，則 $$y$$ 的範圍在 $$\pm{64000}$$ 之間，zoom-out 的效果就像是「站得遠的看」，如下圖。此時連向右的一點平移也不見了，圖形看起來就像 $$y=-x^3$$ 。

一般而言，若 $$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_0$$ 是一個 $$n$$ 次多項式函數，則

$$\displaystyle f(x)=a_nx^n\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\frac{1}{x}+\cdots+\frac{a_1}{a_n}\frac{1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{a_n}\frac{1}{x^n}\right)$$

當  $$|x|$$  很大時，括號裡的數值幾乎是 $$1$$，所以 $$f(x)\approx a_{n}x^n$$ ，可見 $$y=f(x)$$ 的函數圖形幾乎就是冪函數 $$y=a_{n}x^n$$ 的圖形。這也就是說，巨觀而言，多項式函數圖形大約是由其首項決定的冪函數圖形。

• 微觀

再看微觀。假設我們在 $$x=c$$ 附近觀察函數圖形，則先將多項式改寫成以 $$c$$ 為參考點的泰勒形式，而且此時以升冪排列較方便：

$$f(x)=f(c)+c_1(x-c)+c_2(x-c)^2+\cdots+c_n(x-c)^n$$

其中 $$C_n\neq 0$$ 而 $$c_{0}=f(c)$$ 。

若在 $$c-\varepsilon\leq x\leq c+\varepsilon$$ 範圍內觀察函數圖形，則因為 $$|x-c|\leq \varepsilon$$，當 $$c_1\neq 0$$ 時，

$$\left|f(x)-(c_1(x-c)+c_0)\right|\le|c_2|\varepsilon^2+\cdots+|c_n|\varepsilon^n$$

當 $$\varepsilon$$ 是一個微小的正數，不等式的右式是一個很小的數，可見 $$f(x)\approx c(x-c)+f(c)$$ ，因此 $$y=f(x)$$ 的函數圖形幾乎就是由泰勒多項式最低兩項所決定的 $$y=c_1(x-c)+f(c)$$ 線型函數圖形。

繼續以 $$f(x)=-x^{3}+5x^{2}-8x+4$$ 為例，若取 $$=1$$ ，則其升冪泰勒形式為

$$f(x)=-(x-1)+2(x-1)^2-(x-1)^3$$

因為 $$x=1$$ 恰為 $$y(x)=0$$ 的一根，所以常數項為 $$0$$。在此情況下，由泰勒多項式決定的線型函數是 $$y=1-x$$ 。取 $$\varepsilon =0.1$$，在 $$0.9\leq x\leq 1.1$$ 範圍內的函數圖形如以下的紅色曲線，而上述線型函數是下圖中的藍色直線。很明顯地，它們非常接近。

以上範例也展示了「單根」的特徵：在單根的附近，函數圖形就像一條與 $$x$$ 軸有交點的直線。

但是，有可能 $$c_{1}=0$$ ，則微觀而言函數圖形就不再像一條直線。一般而言，令 $$c_k$$ 是除了常數項以外，使得 $$(x-c)^k$$ 之係數不為 $$0$$ 的最低次係數。它一定存在，因為至少 $$c_{n}\neq 0$$ 。在此情況下，微觀而言，$$y=f(x)$$ 在 $$x=c$$ 附近的圖形非常靠近 $$y=c_{k}(x-c)^{k}+f(c)$$ 的圖形。

接續前面的例子，若取 $$c=2$$ ，則其升冪泰勒多項式為

$$f(x)=-(x-2)^2-(x-2)^3$$

因為 $$x=2$$ 恰好是 $$f(x)=0$$ 的根，所以常數項是 $$0$$，而此時 $$c_1$$ 也恰好是 $$0$$。在此情況下，由泰勒多項式決定的二次函數為 $$y=-(x-2)^2$$ 。取 $$\varepsilon =0.25$$ ，在 $$1.75\leq x\leq 2.25$$ 範圍內的函數圖形如以下的紅色曲線，而上述二次函數是下圖中的藍色曲線。很明顯地，它們非常接近。

事實上，這也就是 $$k$$ 重根的微觀圖形特色：當 $$x=c$$ 是 $$f(x)=0$$ 的 $$k$$ 重根時，

$$f(c)=c_1=\cdots=c_{k-1}=0$$

而 $$y=f(x)$$ 在此根附近的函數圖形，就像平移的 $$k$$ 次冪函數 $$y=c_{k}(x-c)^k$$ 。如同以上的 $$x=2$$ 是一個二重根， $$y=f(x)$$ 在 $$x=2$$ 的圖形大約是一個開口向下的拋物線。

一般而言，當 $$c_{1}=0$$ 而 $$c_{2}\neq 0$$ ，則 $$y=f(x)$$ 在 $$x=c$$ 附近的函數圖形就像一個以 $$(c , f(c))$$ 為頂點的拋物線 $$y=c_{2}(x-c)^{2}+f(c)$$ 。

例如，前述的 $$f(x)$$ 以 $$c=\frac{3}{4}$$ 為參考點的泰勒多項式是

$$\displaystyle f(x)=-\frac{4}{27}+(x-\frac{4}{3})^2-(x-\frac{4}{3})^3$$

取 $$\varepsilon =\frac{1}{3}$$ 所做的圖如下，紅色是 $$y=f(x)$$ 在 $$x=\frac{4}{3}$$ 附近的圖形，而藍色是拋物線 $$y=(x-\frac{4}{3})^{2}-\frac{4}{27}$$ 的圖形。

由以上的範例可知，一般而言，當 $$c_{1}=0$$ 而 $$c_2 \neq 0$$，因為函數 $$y=f(x)$$ 在 $$x=c$$ 附近的函數圖形就像一個開口向上或向下的拋物線，而 $$(c , f(c ))$$ 就是拋物線的頂點，所以在 $$x=c$$ 的附近，函數 $$f(x)$$ 在 $$x=c$$ 發生了局部的極大值或極小值 $$f(c)$$ 。當 $$c_{2} >0$$ 拋物線開口向上，所以 $$f(c)$$ 是局部的極小值，而當 $$c_{2}< 0$$ 則 $$f(c)$$ 是局部的極大值。

向前連結：泰勒多項式、函數圖形
向後連結：多項式的導數

延伸閱讀：

1. 單維彰，高中數學I 之〈教師手冊〉及其光碟內的輔助程式，三民書局，99年5 月。