Sine字源（The Etymology of Sine）

Sine字源（The Etymology of Sine）
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

摘要：簡述「正弦」的觀念及符號，從希臘，經阿拉伯、拉丁文到英文的文字演變。

英文本來有 $$\text{sin}$$ 這個字，讀  $$/s\iota n/$$，是（宗教、道德方面的）罪惡的意思。可是，正弦的 $$\text{sin}$$ 其實是 $$\text{sine}$$ 的縮寫（雖然並沒有縮掉很多），讀  $$/ sa\iota n /$$。而這個英文字，是從拉丁文 $$\text{sinus}$$ 簡化而來。而 $$\text{sinus}$$ 又是什麼意思呢？以下就講這一段故事。

古典的希臘數學所討論的是「弦」（chord）函數，也就是對應圓心角 $$\theta$$   的弦長；我們姑且將它記作  $$S(\theta)$$ ，如下圖。

有些書籍資料，說希臘數學家或天文學家托勒密（Claudius Ptolemy,  西元  85-165）製作了「正弦函數表」。其實他做的是解析度為半度的「弦表」，也就是 $$S(0.5^{\circ})$$、$$S(1^{\circ})$$、$$S(1.5^{\circ})$$、$$S(2^{\circ})\cdots S(180^{\circ})$$ 的近似值。至於他的弦表的「精確度」就不容易說明，因為當時用的是六十進位的分數（Sexagesimal System，也就是 $$1$$ 度 $$60$$ 分，$$1$$ 分 $$60$$ 秒的等分制度），大約可以說精確至小數點下四位。

印度人在西元第五世紀發展出「半弦」的觀念，先計算半個圓心角（也就是對同弧的圓周角）所對應的半根弦，而其兩倍就是弦長了。所以，我們今天說的「正弦」其實是印度人的「半弦」。

我們不會寫印度文字，用英文字母拼其近似的音，就是 $$\text{jya-ardha}$$，而經常簡記作 $$\text{jya}$$。印度的數學家發明了比托勒密更高明的估計半弦值的方法，並且製作半弦表，主要是供天文觀測使用。用今天的符號寫，就是

$$\displaystyle S(\theta)=2~jya(\frac{\theta}{2})$$

如果我們令圓周角的其中一邊是圓的直徑，則弦和兩個邊形成直角三角形，如下圖。這就是我們將圓上的問題轉換成直角三角形問題的來源了。

就如同「阿拉伯數字」一樣，印度的「半弦」也傳到了阿拉伯。我們也不會寫阿拉伯文字，用英文字母來對應，阿拉伯翻譯了印度的 $$\text{jya}$$，變成他們的 $$\text{jiba}$$。阿拉伯人比印度人更進一步，發現了 $$\tan\theta$$   的用途，於是除了計算並製作半弦表以外，也製作了正切表。

在歐洲所謂的「十字軍東征」之後，西方學者透過掠奪回去的書籍逐漸從阿拉伯人那裡學到了令他們「耳目一新」的數學。而當時的阿拉伯文明，其實遠高於所謂的西方。當時的阿拉伯，融會貫通了希臘和印度的數學和科學知識，並以阿拉伯文記述在書籍上；而當時的歐洲才剛開始要從「黑暗時期」走向曙光。

西方的學者，當時可以說都是僧侶或者靠著修道院生活和工作的人。他們有少數人學會了阿拉伯文，就負起將阿拉伯書籍翻譯成拉丁文的責任；當時的歐洲共同語文是拉丁文，也就是羅馬帝國的官方語文。

因為 $$\text{jiba}$$ 不是阿拉伯生活或文學中的用字，而且就像我們把 $$\text{sine}$$ 縮寫成 $$\text{sin}$$，$$\text{jiba}$$ 又經常被縮寫成 $$\text{jb}$$。所以，可能有某位負責謄寫的寫字僧把 $$\text{jiba}$$ 誤寫成 $$\text{jaib}$$，或者有某位負責翻譯的僧侶把 $$\text{jiba}$$ 誤會成 $$\text{jaib}$$。總之，願他們的靈魂安息。

而 $$\text{jaib}$$ 就是一個阿拉伯字了，意思是「山凹」。修道院的僧侶或許不知道書的內容是在計算「半弦」，也可能不明白「半弦」和「山凹」有何關係？總之，這位修道院高閣內的僧侶，出於我們或許可以想像的原因，用了 $$\text{sinus}$$ 這個字來翻譯 $$\text{jaib}$$。$$\text{Sinus}$$ 這個拉丁字有幾個意思，當時最可能被引用的意思，是女性上半身某處所形成的「山凹」；想必讀者一定知道，就是「乳溝」的意思（後來又俗稱為「事業線」）。$$\text{Sinus}$$ 的拉丁文發音類似「希努斯」。

現在我們知道，其實 $$\sin$$ 的本義來自印度文的「半弦」，而它的拼音來自拉丁文的「乳溝」。至於 $$\cos$$ 就是 $$\text{complementary sine}$$ 的縮寫，它就是「餘角的半弦」的意思，讀作 $$/kosa\iota n/$$。為了將 $$\sin$$ 和 $$\cos$$ 相對而稱，中文就把一個稱為正弦，而另一個稱為餘弦了。

關於這段數學史，推薦閱讀《溫柔數學史》，博雅書屋出版。關於十四世紀那個時代的修道院、藏書閣、寫字僧以及他們的生活環境，推薦閱讀一部頗注重考據的小說《玫瑰的名字》，皇冠出版。

向前連結：正弦、餘弦

參考文獻：

1. 洪萬生、英家銘、HPM 團隊譯，溫柔數學史，博雅書屋，97 年5 月。