複數的極式（The Polar Form of Complex Numbers）

複數的極式（The Polar Form of Complex Numbers）
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

摘要：定義複數的極式及其相關名詞，導出複數相乘或相除的極式關係，並連結平面向量的內積與二階行列式。

就好像坐標平面上的點有直角坐標 \(P(a,b)\)  和極坐標 \(P[r, {\theta}]\)  兩種表達方式，複數也有標準式和極式兩種表達方式。

令 \(z = a + bi\) 是一個非零複數，且 \(|z| = r\)。則 \(r > 0\)，而若 \({\theta}\) 滿足

\(\displaystyle\cos\theta=\frac{a}{r}\)，\(\displaystyle\sin\theta=\frac{b}{r}\)

則 \(z\) 之極式（polar form）為 \(r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)，也記作 \(z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)。

其中 \(r\) 是 \(z\) 的向徑（modulus），\({\theta}\) 稱為 \(z\) 的幅角（argument），記作 \(arg~z\)；在 \([0,2{\pi})\) 範圍內的幅角，稱為 \(z\) 的主幅角（principal argument），記作 \(Arg~z\)。若 \(z = 0\) 而它的極式也寫成 \(0\)。

由以上的定義可知，如果 \(z = a+bi= r(\cos{\theta} + i \sin{\theta})\)，其中\(z\neq 0\)，則點 \(P(a,b)\) 的極坐標就是 \(P[r,{\theta}]\)。也就是說，\(\overline{OP}= r\)  而射線 \(OP\) 與 \(x\) 軸正向的夾角是 \({\theta}\) 的同界角，其中 \(O\) 是坐標平面的原點。

即使實數也有極式。正數的主幅角是 \(0\)，負數的主幅角是 \({\pi}\)。例如

\(-2=2(\cos\pi+i\sin\pi)\)

依慣例，複數之幅角應以弧度測量。但是，並非不允許使用角度寫出一個複數，例如說 \(z=\cos 50^\circ+i\sin 50^\circ\) 並無不可，但是此時 \(arg~z =\frac{5}{18}\pi\)。

我國的高中課程向來規定主幅角的範圍是 \([0,2{\pi})\)。事實上，有很多數學文獻選擇以 \((-{\pi},{\pi}]\) 當作主幅角的範圍。這兩種定義的主要差別，是後者在處理共軛複數時比較方便。我們解釋如下。

若 \(z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)，則 \(z\) 的共軛複數是

\(\overline{z}=\overline{r(\cos\theta+i\sin\theta)}=r(\cos\theta-i\sin\theta)\)

可見 \(|z|=|\overline{z}|\)，共軛複數的向徑相等；而負角關係則表明 \(\overline{z} = r(\cos (-{\theta}) +i\sin(-{\theta}))\)，可見 \(arg~\overline{z}=-arg~z\)，也就是說 \(z\) 和 \(\overline{z}\) 在複數平面上對稱於實軸。

如果規定主幅角在 \((-{\pi},{\pi}]\)，我們就可以說共軛複數的主幅角互為負角。但是，規定主幅角在 \([0,2{\pi})\) 之後，就要說 \(Arg~\overline{z}=2{\pi}-Arg~z\)，其中 \(z\) 不為正實數。

根據複數乘法的規則，

\((\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)\)

上式的實部和虛部分別是餘弦和正弦的和角公式，所以上式等於

\(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\)

因此，我們得到了複數乘法的幅角性質：

\((\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\)

一般而言，令 \(z = a+bi=|z| (\cos{\alpha} + i\sin{\alpha})\)，\(w = c+di=|w| (\cos{\beta} + i \sin{\beta})\)，則

\(zw=|z||w|\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)\)

因為 \(|\cos({\alpha}+{\beta})+i\sin({\alpha}+{\beta})|=1\)，我們知道

\(|zw|=|z||w|\)，而且 \(arg(zw)=arg~z+arg~w\)

因為負數的主幅角是 \({\pi}\)，兩個負數相乘的幅角是 \({\pi}+{\pi}=2{\pi}\)，所以結果是一個正數。這個簡單的特例為「負負得正」提供了一個有趣的詮釋。

至於複數的除法，令 \(z=|z|(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})\)，\(w=|w|(\cos{\beta}+i\sin{\beta})\) 且 \(w{\neq}0\)，

因為 \(\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{z\overline{w}}{|w|^2}\)，而 \(z\overline{w}\) 的向徑是 \(|z||\overline{w}| = |z||w|\)，主幅角是 \({\alpha}+({-\beta})\)，所以

\(\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{|z||w|\left(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\right)}{|w|^2}=\frac{|z|}{|w|}\left(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\right)\)

一個特例是，若 \(z\neq 0\)，則 \(arg~\frac{1}{z} = -arg~z\)。

最後，讓我們看看複數乘、除法和平面向量的內積、二階行列式有何關係？令 \(z=a+bi\)、\(w=c+di\) 是非 \(0\) 複數，而 \(\overrightarrow{OP}\)、\(\overrightarrow{OQ}\) 分別是點 \(P(a,b)\) 和點 \(Q(c,d)\) 的位置向量。

令 \(arg~z = {\alpha}\)、\(arg~w = {\beta}\)、\({\theta} = {\alpha}-{\beta}\)，則因為 \(arg(\frac{z}{w})={\alpha}-{\beta}\)，所以 \(arg~\frac{z}{w}\) 就是 \(\overrightarrow{OP}\) 和 \(\overrightarrow{OQ}\) 的有向夾角 \({\theta}\)。

因為一方面 \(\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{|z|}{|w|}(\cos\theta+i\sin\theta)\)

另一方面 \(\displaystyle\frac{z}{w}=\frac{(a+bi)(c-di)}{|w|^2}=\frac{ac+bd}{|w|^2}+\frac{bc-ad}{|w|^2}i\)

上面兩式相等，所以它們的實部相等：

\(\displaystyle\frac{|z|}{|w|}\cos\theta=\frac{ac+bd}{|w|^2}\Rightarrow ac+bd=|z||w|\cos\theta\)

其實這就是平面向量的內積定義和公式：

\(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=ac+bd=\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|\overrightarrow{OQ}\right|\cos\theta\)

而且虛部也相等：

\(\displaystyle\frac{|z|}{|w|}\sin\theta=\frac{bc-ad}{|w|^2}\Rightarrow bc-ad=|z||w|\sin\theta\)

在等號兩側皆取絕對值之後，就是二階行列式與平行四邊形面積的關係：

\(\left|\begin{vmatrix}a&c\\ b&d\end{vmatrix}\right|=\left|\overrightarrow{OP}\right|\left|\overrightarrow{OQ}\right|\left|\sin\theta\right|=\) 由 \(\overrightarrow{OP}\) 和 \(\overrightarrow{OQ}\) 決定的平行四邊形面積。

複數的幾何意涵包含了平面向量的所有性質，而這也就是進一步發展空間向量的動機與基礎。

向前連結：複數平面、極坐標、平面向量、和角公式
向後連結：代數基本定理、棣美弗公式、空間向量發展史

延伸閱讀：

1. 單維彰，「向量」從何而來，〈科學月刊〉【數‧生活與學習】專欄，99 年5月