數學史與數學教學：以一元二次方程式為例

數學史與數學教學：以一元二次方程式為例 (History of Mathematics and Mathematics Teaching: A Case Study of quadratic equations)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

摘要:本文以一元二次方程式為例，探討數學史與數學教學。

如果被要求解出一元二次方程式 $$x^2+10x=39$$，常見的的作法是：

$$x^2+10x=39\Rightarrow x^2+10x-39=0\Rightarrow (x+13)(x-3)=0\Rightarrow x=-13,~3$$

一旦無法因式分解時，便是「公式解」派上場的時機。通常它是用「配方法」的作法推導出來

$$\begin{array}{ll}ax^2+bx+c=0&\Rightarrow a(x^2+\frac{b}{a}x)=-c\\&\Rightarrow a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a}\\&\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$$

仔細想想，就解題的觀點，有了「公式解」這個萬能的工具，無論任何係數的二次方程式便能輕鬆解決。同時，它也引導我們觀察解的形態之條件。無怪乎符號代數發展之後，數學家便想找出各種次方方程式的公式解。可惜的是，到了五次方程式的時候就被迫停了下來。不過，這已經是另一段故事，不在本文所討論的範圍。

事實上，二次方程式的出現非常的早，只要涉及畢氏定理的問題，就常常會導出二次方程式。同時，它的解法(本質上就是公式解)也完整的被提出。不過，古代數學家是以幾何概念來理解與處理二次方程式的問題。此處只對於二次方程式的解法，分享古代阿拉伯數學家的想法。

阿拉伯數學家繼承了巴比倫、印度和希臘等文明的數學思想，並且在代數研究上開創出豐盛成果。由於受到希臘數學深刻的影響，對他們而言，賦予巴比倫人解二次方程的演算程序之幾何意義是個重要課題。

阿爾花拉子模（Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi,  約780-850 年）在《代數學》（Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala，約在 820 年）書中，將二次方程分為六類，亦即「平方等於根」（$$ax^2=bx$$）、「平方等於數」（$$ax^2=c$$）、「根等於數」（$$bx=c$$）、「平方與根等於數」（$$x^2+bx=c$$）、「平方與數等於根」（$$x^2+c=bx$$）以及「根與數等於平方」（$$bx+c=x^2$$）。其中 $$a,b,c$$ 均為正數，且所稱的數（number）、根（root）與平方（square）分別是我們今日所指的常數、未知數與未知數的平方。同時，他也是第一位把未知數叫做「根」的數學家。

對於形如 $$x^2+bx=c$$ 的二次方程，除了給出解法 $$x=\sqrt{(\frac{1}{2}b)^2+c}-\frac{b}{2}$$，阿爾花拉子模並以 $$x^2+10x=39$$ 為實例提出兩種幾何解釋：

首先，以正方形 $$ab$$ 邊長表示為此方程的根 $$x$$，則 $$x^2$$ 代表正方形 $$ab$$ 的面積（見圖 1）；
接著，再把長 $$x$$、寬 $$10/4$$ 的四個矩形（$$c$$、$$d$$、$$e$$、$$f$$）加到正方形 $$ab$$ 的四個邊上（見圖 2），
此圖形面積和即為 $$x^2+10x$$，亦即等於 $$39$$；
最後，將邊長為 $$10/4$$ 的小正方形補到圖形的四個角落，成為邊長為 $$x+2\times 10/4$$ 的大正方形 $$GH$$（見圖3），面積就是 $$39+4\times(10/4)^2=64$$，
因此，正方形的邊長，$$x+2\times 10/4$$ 應該等於 $$64$$ 的（正）平方根 $$8$$，
最後，就可以求出此方程的一解 $$x=3$$。

另外，阿爾花拉子模也提供了相當於今日所使用的「配方法」的幾何解釋：

$$3$$ 就表示正方形 $$ab$$ 的 一個邊，即所求未知數平方的一個跟。且未知數的平方是 $$9$$。因此，我們取 $$10$$ 的一半，將其自乘。當我們把這一乘積加上 $$39$$ 時，大正方形 $$GH$$ 就可以畫成了（見圖4）

也就是說，
其相對應求解方程 $$x^2+10x=39$$ 的演算程序為 $$x^2+10x+(10/2)^2=39+(10/2)^2$$，
即 $$(x+5)^2=64$$，得 $$x+5=8$$，可知 $$x=3$$。

這種藉助幾何論證來說明方程數值解法的方式，正是阿拉伯數學的一大特色。在今日代數教學上所帶來的啟發，的確值得我們注意：阿爾花拉子模針對二次方程 $$x^2+bx=c$$ 所提供的幾何解釋，正是可以作為「配方法」－配成完全平方－  的可行詮釋。讓學生除了透過抽象化與演繹性的演算學習代數課程之外，還可以藉由具體且可操作的幾何圖形，幫助理解與學習。

參考文獻：

1. 李文林主編(2000)，《數學珍寶》，台北：九章出版社。
2. 陳鳳珠(2002)，〈阿拉伯代數在數學教學的應用：以一元二次方程解法為例〉 ，《HPM 通訊》第四卷第十一期。