認識等角螺線(On the Equiangular Spiral)

認識等角螺線(On the Equiangular Spiral)
國立臺灣師範大學數學系趙文敏教授/國立臺灣師範大學數學系趙文敏教授責任編輯

摘要:本文介紹等角螺線的歷史與一些性質。

何謂等角螺線

在一片空曠的草地上，甲、乙、丙、丁四隻狗分別站立在一個正方形的四個頂點 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 上。狗主人要甲狗緊盯著乙狗、乙狗緊盯著丙狗、丙狗緊盯著丁狗、丁狗緊盯著甲狗。一聲令下，四隻狗以相同的速度同時衝向目標。假定每隻狗在每個時刻都是正面朝向它的目標，那麼，這四隻狗所跑過的路徑是什麼形式呢？

假設四隻狗在某一時刻的位置分別為 \(A_1\)、\(B_1\)、\(C_1\)、\(D_1\)（參看圖一），則根據四隻狗的行動一致所產生的對稱性，可知 \(A_1B_1C_1D_1\) 也是正方形，而且它的中心也就是正方形 \(ABCD\) 的中心 \(O\)。

更進一步地，由於在 \(A_1\) 點的甲狗係衝向在 \(B_1\) 點的乙狗，所以，甲狗在此一時刻的速度方向在向量 \(\overrightarrow{A_1B_1}\) 上。或者說，甲狗所跑的路徑在 \(A_1\) 點的切線與直線 \(OA_1\) 形成 \(45^\circ\) 的夾角。同理，乙狗所跑的路徑在 \(B_1\) 點的切線與直線 \(OB_1\) 形成 \(45^\circ\) 的夾角，等等。

圖一

一般而言，若一曲線在每個點 \(P\) 的切向量都與某定點 \(O\) 至此點 \(P\) 所成的向量夾成一定角，且定角不是直角，則此曲線稱為一等角螺線（equiangular spiral），\(O\) 點稱為它的極點（pole）。下圖二是一等角螺線的部分圖形：

圖二

前面所提的四狗追逐問題中，每隻狗所經過的路線都是一等角螺線的一部分，此等角螺線中的定角是 \(\pi/4\)（或 \(3\pi/4\)，因為切向量可選成相反方向），而其極點是正方形 \(ABCD\) 的中心 \(O\)。

在坐標平面上，若一等角螺線的定角為 \(\alpha~(0<\alpha <\pi,~\alpha\neq 2\pi)\)、極點是原點 \(O\)，則此等角螺線的極坐標方程式為 \(r=ae^{\theta \cos\alpha}\)，其中的 \(a\) 是一常數。由於在導出等角螺線極坐標方程式的過程中需要引用自然對數，所以，對角螺線也稱為對數螺線（logarithmic spiral）。

趣史一則

對於等角螺線的探討，以白努利（J. Bernoulli, 1654～1705年）的成果最為豐碩。他發現將等角螺線作某些變換時，所得的曲線仍是全等的對角螺線。這些變換包括：求等角螺線的垂足曲線（pedal curve）；求等角螺線的漸屈線（evolute）；求等角螺線的反演曲線（inversive curve）；求等角螺線的焦線（caustic curve）；將等角螺線以其極點為中心作伸縮變換（dilatation）。

由於這些變換都可以使等角螺線再生，這個現象使白努利大為欣慰，所以，臨終前遺言要將等角螺線的這些性質刻在他墓碑上，同時題上一句話：「Eadem mutata resurgo」（雖然某些狀況改變了，我卻保持不變）。這是繼阿基米德（紀元前三世紀）之後，另一位在墓碑上表現其成果的數學家。

等角螺線的相似性質

對於一般的幾何圖形，若我們選定某個點做為伸縮中心將圖形放大或縮小，則可得到一個相似的圖形。在對角螺線的情形中，若伸縮中心是它的極點，則不論放大或縮小多少倍，所得的不只是相似圖形而已，它是與原等角螺線全等的一個等角螺線。

為什麼呢？若以極點為伸縮中心將等角螺線 \(r=ae^{\theta \cos\alpha}\) 伸縮 \(m\) 倍，則所得的圖形是等角螺線 \(r=ame^{\theta \cos\alpha}\)。因為 \(m>0\)，所以可找到一個實數 \(\phi\) 使得 \(m=e^{\phi \cos\alpha}\)。於是伸縮後的圖形為 \(r=ae^{(\theta +\phi) \cos\alpha}\)，這個圖形其實就是將等角螺線 \(r=ae^{\theta \cos\alpha}\) 繞極點順時針旋轉 \(\phi\) 角所得的，它自然與原等角螺線 \(r=ae^{\theta \cos\alpha}\) 全等。

根據前段的說明可知：等角螺線上的一段弧經伸縮若干倍後，必與該等角螺線上的另一段弧全等。事實上，若 \(r=ae^{\theta \cos\alpha}\) 經伸縮而成 \(r=ae^{(\theta +\phi) \cos\alpha}\)，則在等角螺線 \(r=ae^{\theta \cos\alpha}\) 上，輻角 \(\theta\) 滿足 \(\beta\leq\theta\leq\gamma\) 的弧，經伸縮後必與該等角螺線上輻角 \(\theta\) 滿足 \(\beta+\phi\leq\theta\leq\gamma+\phi\) 的弧全等。

等角螺線的這項特性，使得自然界中許多物體都呈現等角螺線的形狀。例如：許多貝殼的形狀都很接近等角螺線，因為生活在殼內的動物在成長過程中通常是均勻地長大，這就像相似地放大，所以，新生的部分所棲息的空間必與原有空間形狀相似。象鼻、動物的角與毛等都呈等角螺線形。在植物中，向日葵、鳳梨與雛菊上的螺旋紋也都呈等角螺線形。圖3是鸚鵡螺的橫截面，這麼美的線條，令人不得不佩服造物之奇。

圖三

黃金分割與等角螺線

環繞某個定點而相似地縮小，這是等角螺線在其極點附近呈現的現象。假如我們將多邊形環繞一定點而相似地縮小，是不是會與等角螺線產生關聯呢？

在圖四中，\(\Box ABDF\)、\(\Box CDFH\)、\(\Box EFHJ\)、\(\Box GHJK\)、\(\Box IJKL\) 是一系列的矩形，這些矩形中每兩個都相似（亦即：邊的比值相等），而且後一個矩形都是由其前面的矩形挖掉一個正方形而得的。如：\(\Box{CDFH}\) 是由 \(\Box ABDF\) 挖掉正方形 \(\Box ABCH\) 而得的。

此時，上列矩形的第一個頂點 \(A\)、\(C\)、\(E\)、\(G\)、\(I\)、\(K\) 等會落在一等角螺線上，此等角螺線的極點是直線 \(AE\)、\(BF\)、\(CG\)、\(DH\) 等共同的交點 \(O\)。

若以 \(O\) 為極點，射線 \(\overrightarrow{OE}\) 為極軸，且 \(A\) 的極坐標為 \((a,\pi)\)，則此等角螺線的極坐標方程式為

\(\displaystyle r=\frac{a}{\phi^2}(\phi^{2/\pi})^\theta\)

其中，\(\phi=(1+\sqrt{5})/2\)。這個等角螺線通常稱為黃金螺線。

為什麼會扯上 \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 呢？原來這個數就是上述相似矩形的長邊與短邊的長之比 \(\overline{BC}:\overline{CD}\)。

若線段 \(\overline{BD}\) 上的一點 \(C\) 滿足 \(\overline{BD}:\overline{BC}=\overline{BC}:\overline{CD}\)，則稱 \(C\) 點將 \(\overline{BD}\) 黃金分割。當 \(C\) 點將 \(\overline{BD}\) 黃金分割時，\(\overline{BC}:\overline{CD}\) 的值是 \((1+\sqrt{5})/2\)，此數稱為黃金分割比。若一矩形的長邊與短邊的比值為 \((1+\sqrt{5})/2\)，則此矩形稱為黃金矩形。

圖四

由黃金矩形可引出等角螺線，將矩形改成三角形，也會有同樣的結果嗎？

在圖五中，\(\Delta ABC\)、\(\Delta BCD\)、\(\Delta CDE\)、\(\Delta DEF\)、\(\Delta EFG\)、\(\Delta FGH\) 等是一系列的等腰三角形，這些等腰三角形中每兩個都相似，而且後一等腰三角形，都是由其前面的等腰三角形挖掉一個等腰三角形而得的。

例如：\(\Delta BCD\) 是由 \(\Delta ABC\) 挖掉等腰三角形 \(\Delta DAB\) 而得的。此時，上列等腰三角形的頂點 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(\cdots\)等會落在一等角螺線上，此等角螺線的極點是 \(AF\) 與 \(BG\) 的交點 \(O\)。

若以 \(O\) 為極點、射線 \(OB\) 為極軸、且 \(A\) 的極坐標為 \((a,\frac{3\pi}{5})\)，則此等角螺線的極坐標方程式為

\(\displaystyle r=\frac{a}{\phi}(\phi^{5/(3\pi)})^\theta\)

其中，\(\phi=(1+\sqrt{5})/2\)。這個等角螺線也稱為黃金螺線。

此等角螺線也扯上 \((1+\sqrt{5})/2\)，其理由如下：上述的相似等腰三角形 \(\Delta ABC\) 等，可證明其頂角為 \(36^\circ\)、底角為 \(72^\circ\)，所以，\(\overline{AB}:\overline{BC}=(1+\sqrt{5})/2\)。此種三角形稱為黃金三角形。

圖五

延伸閱讀：

1. http://episte.math.ntu.edu.tw/cgi/mathfield.pl?aut=%BB%AF%A4%E5%B1%D3