阿爾•卡西與圓周率(Jamshīd al-Kāshī and the measurement of π)

阿爾•卡西與圓周率(Jamshīd al-Kāshī and the measurement of π)
臺北市立成功高中陳彥宏老師

一、前言

圓周率 $$\pi$$ 的估算，一直是人類深感興趣的題材。從數千年前開始，數學家便設法要去計算 $$\pi$$ 值的大小。直到西元前三世紀，希臘科學家阿基米德 (Archimedes，西元前287－前212) 首度利用科學的方法計算 $$\pi$$ 的近似值，歷史上一連串計算圓周率 $$\pi$$ 的旅程便就此展開。在這漫長的旅途上，有一位不容忽視的伊斯蘭數學家－阿爾‧卡西 (Jamshīd al-Kāshī，?－1429)，他所求得的 $$\pi$$ 的近似值能夠精確到小數點以下第十六位！本文將簡單介紹阿爾‧卡西計算 $$\pi$$ 所使用的方法，希望讀者能夠對這位阿拉伯的計算奇才有初步的認識。

二、生平

現今對於阿爾‧卡西最早的紀錄是在1406年，由其著作中得知，當時他開始在家鄉卡撒 (Kāshān，在今伊朗德黑蘭南方200公里) 進行一系列的月蝕觀測活動，在此之前，我們對他則一無所知。早期阿爾‧卡西的生活過得並不富裕，以致到處流浪兼職來謀生，直到1418年，他才在撒馬爾干 (Samarkand，在今烏茲別克境內) 的一所學校內謀得職位，這所學校正是由他一生中最大的資助者Sultan Ulūgh Beg創辦。同一時間，阿爾‧卡西開始對於數學有極重大的貢獻，1424年，他逼近圓周率 $$\pi$$ 的近似值精確至小數點以下第十六位，1427年他撰寫了關於算術、代數及測量的作品《算數者之鑰》(The Calculators’ Key)，書中對於十進位記數系統、數的開高次方根及求解代數問題皆有詳細論述。此外，阿爾‧卡西還利用求解三次方程式得到正弦函數 $$\sin 1^\circ$$ 的近似值，而這也是他在1429年過世前的最後作品。

三、阿爾‧卡西的圓周率

阿爾‧卡西在他所著的《圓周論》(A Treatise on the Circumference) 中，利用幾何方法計算圓周率$$\pi$$ 的近似值，其結果準確至小數點以下第十六位！以下便簡單介紹他的方法。

阿爾‧卡西採取與阿基米德同樣的方式，以圓內接多邊形的周長來逼近圓周長。他從圓內接正六邊形開始著手，設圓 $$O$$ 為一單位圓^[1]，則六邊形的邊長 $$a_1$$ 為 $$1$$ 單位，因此可得圓周率的粗略近似值 $$\pi\approx\frac{6}{2}=3$$，接著，將內接多邊形邊數增加一倍得到正十二邊形。

現在，問題來了，要如何求出其邊長 $$a_2$$ 呢？此時，阿爾‧卡西展現出過人的智慧，他將正六與正十二邊形同時內接於單位圓中，並僅只考慮上半圓(參考圖一)。

如圖二，分別過圓心 $$O$$ 與 $$D$$ 點作 $$\overline{OJ}\bot\overline{AG}$$，$$\overline{DZ}\bot\overline{AB}$$，則 $$\Delta DAZ\sim\Delta BAD$$，

因而 $$\displaystyle\frac{{\overline{AB}}}{{{c_2}}}=\frac{{{c_2}}}{{\overline {AZ}}}$$，即 $$c_2^2=\overline{AB}\cdot\overline{AZ}=2\left({1+\overline{OZ}} \right)~~~~~~~~~(1)$$

由於 $$\angle BAG=\frac{1}{2}\angle BOG=\angle BOD$$，可得 $$\Delta AOJ\cong \Delta DOZ$$，

所以 $$\overline {OZ}= \overline {AJ}=\frac{1}{2}{c_1}$$ ，將此結果代入 $$(1)$$ 式，我們可以得到底下的關鍵公式：

$$c^2_2=2+c_1~~~~~~~~~(2)$$

利用畢氏定理，可知 $${c_1} =\sqrt {{2^2} – a_1^2}=\sqrt {4 – 1}=\sqrt 3=1.73205\cdots$$，

實際上，當時阿爾‧卡西已經能夠輕易地計算出一數的平方根^[2]了！

他將 $$c_1$$ 的值代入公式 $$(2)$$，並再次使用畢氏定理，

得 $${a_2}=\sqrt{{2^2}-c_2^2}= \sqrt{4-c_2^2}=0.51763 \cdots$$ ，

而計而計算出較正六邊形為佳的圓周率的近似值 $$\displaystyle\pi \approx\frac{{12{a_2}}}{2} = 3.10582 \cdots$$

至此，讀者應不難發現公式 $$(2)$$ 不只侷限於正六邊形與正十二邊形。如果我們繼續將圓內接正多邊形的邊數，依序加倍得到正二十四、正四十八邊形、……，並反覆使用式 $$(2)$$ 與畢氏定理，則 $$c_3^2=2+{c_2}$$、$$c_4^2=2+{c_3}$$、……，且 $${a_3}=\sqrt{4 – c_3^2}$$、$${a_4}=\sqrt {4 – c_4^2}$$、 ……，

或更一般地，

$$\begin{array}{ll}c_n^2 = 2 + {c_{n – 1}}&{a_n} = \sqrt {4 – c_n^2}\end{array}~~~~~~~~~(3)$$

當進行到圓內接正九十六邊形時，阿爾‧卡西已將圓周率 $$\pi$$ 的近似值精確至小數點以下第三位 $$(3.141…)$$。不過，他並不因此而滿足，他繼續向前邁進，直到逼近圓周率 $$\pi$$ 的近似值精確至小數點以下第十六位為止 $$(\pi=3.1415926535897932)$$^[3]！當時，他形容其精確度為：

若用它來計算宇宙的周長，那麼所得到的結果其誤差將會小於一根馬鬣之寬！

阿爾‧卡西是如何知道所求得的圓周率近似值，的確精確至小數點以下第十六位呢？他知道圓內接正多邊形周長較圓周長為小，因而，以圓內接多邊形的方法總是『低估』(underestimate) 了 $$\pi$$ 值。於是，他另外設計了以圓外切正多邊形的方法來『高估』 (overestimate) $$\pi$$ 值。將圓內接、外切正多邊形的邊數不斷地加倍之後，若『低估值』與『高估值』在小數點以下某一位 (第 $$n$$ 位) 之前值都相同，阿爾‧卡西便能確知他的近似值亦準確至第 $$n$$ 位，最後，他以正 $$805,306,368$$ 邊形得到上述結果！

四、結語

在阿爾‧卡西的時代，圓周率的近似值最多只精確至小數點以下第六位^[4]，與他的結果足足有十位之差！這個記錄保持了將近兩百年，在十七世紀初期才由荷蘭數學家盧道夫 (Ludolf van Ceulen，1539－1610) 打破^[5]。平心而論，在電算機尚未發明的情況下，他能得到這樣精確的結果，實在令人不得不佩服。更值得注意的是，阿爾‧卡西總是明瞭：『割圓』必須進行至如何的地步，才能獲得他所要求的精確度！

[註解]

1. 實際上，阿爾‧卡西所建構的圓半徑是60單位長，而非這裡所說的單位圓。
2. 在阿爾‧卡西的另一著作《算數者之鑰》中，對於數的開方法有詳細地介紹，他甚至能夠直接計算出一數的五次方根。
3. 阿爾‧卡西並非用十進位系統，而是使用當時在天文學方面慣用之六十進位系統，他的結果以六十進位表示為：
   $$2\pi=6,~16,~59,~28,~1,~34,~51,~46,~14,~50$$。
4. 在阿爾‧卡西之前，中國南北朝時期的偉大數學家、天文學家和工程師祖沖之 (429－500) 求得：$$3.1415926 <\pi< 3.1415927$$。其結果精確至小數點以下第七位，不但在當時是最精密的圓周率，而且這個記錄保持了九百多年，才被阿爾‧卡西打破！另外，祖沖之還找到了兩個簡單的分數 $$\frac{22}{7}$$(約率)、$$\frac{355}{113}$$(密率)，來作為圓周率 $$\pi$$ 的近似值，在數學上具有極重要的意義！
5. 盧道夫將 $$\pi$$ 的近似值逼近到小數點以下第三十五位。他致力於此工作達數十年之久，其特色是結合新的十進位系統與阿基米德的策略。不過，他不是從正六邊形出發，而是由正四邊形開始，最後求出一個具有 $$2^{62}$$ 邊的正多邊形的周長！

參考書目

1. 梁宗巨 (1992).《數學歷史典故》，台北：九章出版社。
2. 曹亮吉 (1996).《阿草的葫蘆－文化活動中的數學》，台北：遠哲基金會。
3. Beckmann, Petr (1996).《的故事》(姜家齊等譯)，新竹：凡異出版社。
4. Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. New York：
5. Springer-Verlag.
6. Dunham, William (1995).《天才之旅－偉大數學定理的創立》(林傑斌譯)，台北：牛頓出版社。
7. Katz, Victor J. (1993). A History of Mathematics：An Introduction. New York：Harper-Collins College Publishers.
8. Van Brummelen, Glen (1998).‘Jamshīd al-Kāshī－Calculating Genius’, Mathematics in School 27(4)：40-44.