德布羅意波長

德布羅意波長 (de Broglie wavelength)
國立臺灣大學物理所陳致融

德布羅意波(de Broglie wave)又稱物質波（詳見「物質波」條目），是1923年由法國物理學家路易．德布羅意 (Louis Victor de Broglie)提出，是指所有粒子都存在波動的特性，例如電子經過雙狹縫會干涉，物質波的波長又稱德布羅意波長。而物質存在粒子與波動的特性，就是所謂的波動-粒子二相性 (wave-particle duality)。根據德布羅意的假設，粒子的物質波波長 \(\lambda\) 是由

\(\displaystyle \lambda=\frac{h}{p}\)

來決定，其中 \(h\) 為普朗克常數、\(p\) 為粒子的動量。

由於物質波是一種量子效應，所以我們可能會問：在什麼樣的條件下，系統比較不會呈現出粒子的波動性，從而我們便可較安心地以古典的概念去理解系統的物理行為？

簡單地回答，其中一個重要判別標準是：當粒子的德布羅意波長遠小於系統的某些特性長度時，則以古典方式描述粒子的行為通常會是一個好的近似。

舉個例子說，若繞氫原子核運轉的電子之德布羅意波長遠小於其波耳模型中之軌道圓周長，則該電子可以視為就像行星在繞太陽運轉那般，可以用古典力學去做初步的近似。這種半古典的近似適用於能量較高的電子，所以科學家在研究原子的游離現象時，有時便會先採用這種半古典的想法來幫助理解。

再舉一例來說，\(T\) 溫度為 的氣體，平均每一顆分子的動能之數量级為 \(k_BT\)：

\(\text{動能}=\displaystyle\frac{p^2}{2m}\sim k_BT\)

其中 \(k_B\) 為波茲曼常數。但由於

\(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}=\sqrt{2mk_BT}\)

故溫度越高時其動量 \(p\) 越大，而所對應的德布羅意波長 \(\lambda\) 就越短。如果分子與分子之平均間距遠大於此德布羅意波長，例如：一大氣壓下，室溫\( (300~K) \)的氦原子氣體平均間距約 \(3\) 奈米，而德布羅意波長約為 \(0.1\) 奈米，則這些氣體分子便可以利用古典的氣體動力論 (kinetic theory of gases)來描述。但若是原子平均距離約等於或小於德布羅意波長時，每個原子在空間上不再像是一個小質點，而必須完全考慮其波動特性，此時原子的行為會跟古典很不一樣，這種系統就要考慮量子的各種特性（包括量子的特殊統計行為），也衍生出很多有趣的現象，例如物質波的干涉、費米氣體等等

根據前述，若想要直接觀測到物質波波長，系統必須具有非常小的動量，將系統降至極低溫或許是一種可行的辦法。事實正是如此，1997年MIT的Ketterle團隊便以極低溫冷原子凝聚態 (Bose-Einstein condensate)，實現了巨觀物質波的干涉，如下圖二[1,2]。

圖一左右各為兩團極低溫（溫度約\(100~nK\)）的鋰原子凝聚態，分開約 \(40\) 微米（頭髮的粗細大約 \(200\) 微米），關掉磁井等待 \(40\) 毫秒（原子團因受重力自由落體並且膨脹）後拍照如圖二。實驗觀測到干涉條紋約 \(15\) 微米，得到物質波的波長為 \(30\) 微米，由公式 \(\lambda=h/p=h/m\cdot v\) 得知原子的速度 \(v\) 約是 \(1.9\times 10^{-3}\) 公尺每秒（室溫氦原子的方均根速度大約是 \(1370\) 公尺每秒），由此可知若要直接觀測到原子團的干涉是非常困難的，而且並非所有低溫原子團都可以觀測到這個現象，必須同一團的所有原子具有相同的相位，這也是波色-愛因斯坦凝聚體（巨觀物質波）的一個重要的特性。

參考資料

1. http://cua.mit.edu/ketterle_group/Projects_1997/Interference/Interference_BEC.htm
2. M. R. Andrews, C. G. Townsend, H.-J. Miesner, D. S. Durfee, D. M. Kurn, W.  Ketterle, Science 275, 637(1997)