三角函數值表

三角函數值表
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

三角函數值表：現行的三角函數值表，是將三角函數的近似值算出並製成表格，表從 $$0^\circ$$ 到 $$90^\circ$$ 間(以 $$10’$$ 為單位，$$1^\circ=60’$$)的各種三角函數值，超過 $$90^\circ$$ 或小於 $$0^\circ$$ 的角，再利用廣義角的性質轉換。表中最左一行由上而下呈現的角度是遞增情形，對應最上一列由左而右有 $$\sin$$、$$\cos$$、$$\tan$$、$$\cot$$、$$\sec$$、$$\csc$$ 各個函數符號；表中最右一行由下而上呈現的角度是遞增情形，對應最下一列由左而右印有 $$\cos$$、$$\sin$$、$$\cot$$、$$\tan$$、$$\csc$$ 和 $$\sec$$ 各個函數符號，因此，查表的簡易口訣為「左上右下」，下圖一為三角函數值表的部分表格。

圖一$$~~~$$三角函數值表的部分表格

根據上表得知：

$$\sin 12^\circ 50′ = 0.2221$$，$$\cos 12^\circ 50′ = 0.9750$$，$$\tan 12^\circ 50′ = 0.2278$$，$$\cot 12^\circ 50′ = 4.3897$$，$$\sec 12^\circ 50′ = 1.0256$$，$$\csc 12^\circ 50′ = 4.5022$$；

利用餘角關係

$$\sin ({90^\circ}-\theta ) = \cos \theta$$，$$\cos({90^\circ}-\theta ) = \sin \theta$$，$$\tan ({90^\circ}-\theta ) = \cot \theta$$，$$\cot ({90^\circ}-\theta ) = \tan \theta$$，$$\sec ({90^\circ}-\theta ) = \csc \theta$$，$$\csc ({90^\circ}-\theta ) = \sec \theta$$
及 $$90^\circ-12^\circ 50’=77^\circ 10’$$，

可查出

$$\sin 77^\circ 10’=0.9750$$，$$\cos 77^\circ 10’=0.2221$$，$$\tan 77^\circ 10’=4.3897$$，$$\cot 77^\circ 10’=0.2278$$，$$\sec{77^\circ}10’=4.5022$$，$$\csc 77^\circ 10’=1.0256$$。

因此，在查三角函數時需注意「左上右下」這個特殊結構。

至於角度非 $$10’$$ 的倍數時，可利用內插法，方法是先找相鄰兩角的三角函數值，然後利用線性的比例關係求知得近似值，

例如：求 $$\sin 12^\circ 53’=?$$

可先查表知 $$\sin 12^\circ 50’=0.2221$$，$$\sin 13^\circ 00’=0.2225$$

再利用內插法，得 $$\displaystyle\frac{{\sin {{12}^\circ}53′ – 0.2221}}{{0.2225 – 0.2221}} = \frac{{{{12}^\circ}53′ – {{12}^\circ}50′}}{{{{13}^\circ}00′ – {{12}^\circ}50′}} = \frac{3}{{10}}$$，

移項可得 $$\sin 12^\circ 53′-0.2221=0.00012$$，則 $$\sin 12^\circ 53’=0.22222\approx 0.2222$$。

遇到廣義角的處理方式，則先轉換成銳角三角函數，再利用查表，重複上述動作，即可完成。

古代中國的《九执曆》中有球面三角推算月食時月球離黃道的度數，其中有「推月間量命」記載，號為中國最早的三角(正弦)函數值表，英國科學史家李約瑟博士(Joseph Needham, 1900-1995)稱之為「三角學的最早形態」，原引文如下：

推月間量命：段法，凡一段管三度四十五分，每八段管一相，總有二十四段，用管三相，其段下例注者，是積段并成之數。第一段，二百二十五……

因為在《九执曆》中一圓周為 $$360$$ 度，每度再細分 $$60$$ 分，則 $$360^\circ=21600’$$，以 $$2\pi$$ 除之，若 $$\pi$$ 取 $$3.14$$，商數為 $$3439.4904’$$；若 $$\pi$$ 取 $$3.1416$$，商數為 $$3437.7387’$$，因為「第二十四段，七，并三千四百三十八。」可見《九执曆》中圓周率 $$\pi$$ 的近似值取 $$3.1416$$，上引文中的二十四段，即將 $$90^\circ/24=3.75^\circ=3^\circ 45’$$，第一句話「第一段，二百二十五」即 $$\sin 3^\circ 45’=\frac{225}{3438}=0.06544$$。

¹  此處的正弦函數值取至小數點後第四位,小數點後第五位四捨五入。

除了中國古算書《九执曆》的記載之外,清代也有曆書文本呈現三角函數值表, 下圖二就是一份蒙古的數學文本,所呈現的三角函數值的角度介於 $$44^\circ 30’$$ 到$$45^\circ 00’$$, 根據數學史家嚴敦杰的研究, 這份文本可回溯至 1712 年的湯若望《崇禎曆書》改版本。²

圖二$$~~~$$《崇禎曆書》中的三角函數值表

至於希臘天文學家托勒密是如何編制弦表？詳情可以參閱蔡聰明，〈星空燦爛的數學(Ι)-托勒密如何編制弦表？〉，《數學傳播》，23卷2期(民88年6月)，頁57-67，文中對於弦表的導出過程，有完整的呈現。

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參考資料

1. 毛爾(Eli Maor)，胡守仁譯，《毛起來說三角》，台北：天下遠見出版社，2000。
2. Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, Heidelberg : Springer-Verlag, 1997.
3. 蔡聰明，〈星空燦爛的數學(Ι)-托勒密如何編制弦表？〉

²  此處的正弦函數值取至小數點後第四位,小數點後第五位四捨五入。