拉密定理

拉密定理 (Lami’s Theorem)
國立臺灣大學物理系陳昱璟

拉密定理 (Lami’s theorem)是靜力學中的一個定理，用於靜力學系統與機械系統的分析。此定理是由法國數學家Bernard Lami （1640-1715；Lami亦有拼成Lamy者）所提出。在力學中，我們常常利用向量來分析系統的運動狀態，而拉密定理最常用來解決三力平衡之問題，可以省去分解向量後的繁複計算，但對於超過三個作用力之問題，其便利性便大幅下降。其公式內容及證明如下：

公式：若三力 ($$F_A$$、$$F_B$$、$$F_C$$) 作用於一物體上，其合力為零 ($$\vec{F_B}+\vec{F_B}+\vec{F_C}=\vec{0}$$) ，並共點，則任一力的量值與其他兩力夾角之正弦值的比值皆相等。

$$\displaystyle \frac{F_A}{\sin \alpha}=\frac{F_B}{\sin\beta}=\frac{F_C}{\sin\gamma}$$

示意圖如下：

$$F_A$$、$$F_B$$、$$F_C$$ 為作用在一點力的大小，$$\alpha$$ 為 $$F_B$$ 與 $$F_C$$ 之夾角，$$\beta$$ 為 $$F_A$$ 與 $$F_C$$ 之夾角，$$\gamma$$ 為 $$F_A$$ 與 $$F_B$$ 之夾角。

證明：其證明可先將三力移動形成一個封閉三角形，分別由三力向外畫出延長線，可得到下面三張圖，由幾何關係得知：$$(\pi-\alpha)$$ 為 $$F_B$$ 與 $$F_C$$ 之夾角，$$(\pi-\beta)$$ 為 $$F_A$$ 與 $$F_C$$ 之夾角，$$(\pi-\gamma)$$ 為 $$F_A$$ 與 $$F_B$$ 之夾角。

再由正弦的性質 $$\sin{(\pi-\theta)}=\sin\theta$$ 以及正弦定律 $$\displaystyle\frac{A}{\sin\alpha}=\frac{B}{\sin\beta}=\frac{C}{\sin\gamma}$$ ($$A$$、$$B$$、$$C$$ 分別為三角形的三邊長，$$\alpha,\beta,\gamma$$ 則為 $$A, B,C$$ 相對角的角度)

最後，我們可以得知：

$$\displaystyle \frac{F_A}{\sin (\pi-\alpha)}=\frac{F_B}{\sin(\pi-\beta)}=\frac{F_C}{\sin(\pi-\gamma)}\Rightarrow\frac{F_A}{\sin \alpha}=\frac{F_B}{\sin\beta}=\frac{F_C}{\sin\gamma}$$

即可得到拉密定理(Lami’s theorem)。

參考資料

維基百科_拉密定理

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%8B%89%E5%AF%86%E5%AE%9A%E7%90%86