速度

速度
國立臺灣大學物理研究所楊淵棨

速度：

速度為非常基本的物理量之一，其對於描述物體的運動狀態尤其重要。速度為一種描述運動狀態的向量，所謂的向量，包含方向和大小，同樣的，速度也包含了速度的方向和速度的大小。物體速度的方向其實就是物體位移的方向，而其大小，就是量度位移快慢的一種量。速度可以依據所描述的狀態分為兩種：平均速度跟瞬時速度。

平均速度：
所謂平均速度，是用來描述物體在一段時間內的運動，它只跟開始的位置，結束的位置，以及總時間有關係。更具體說，假設 $$\vec{S_b}$$ 為結束的位置，$$t_b$$ 為結束的時刻，$$\vec{S_a}$$ 為開始的位置，$$t_a$$ 為結束的時刻，則平均速度 $$\vec{V}=\frac{\Delta\vec{S}}{\Delta t}$$ ，其中 $$\Delta\vec{S}=\vec{S_b}-\vec{S_a}$$ 為位移，$$\Delta t=t_b-t_a$$ 為總時間。也就是說，我們把物體這一段時間內的運動，表示成一個平均的等速度運動。

圖一(作者提供)

以圖一舉例說明，其中藍色的曲線代表運動的位移-時間圖，而紅色的直線代表以 $$\overline{V}$$ 等速度運動。換句話說，我們假想此運動為從起始時間 $$t_a$$，起始位置 $$S_a$$，以速度 $$\overline{V}$$ 移動的運動，最後在時間 $$t_b$$ 時到達 $$S_b$$，雖然這個等速度運動和原來的運動過程相去甚遠，但是其效應是一樣的：一樣的起始位置和時間，並經過相同的時間 $$\Delta t=t_b-t_a$$ 到達 $$S_b$$。

瞬時速度：

所謂瞬時速度，是用來描述物體運動的瞬間狀態的量，它可以想像成是時間無限短的平均速度，當我們所看的時間無窮短的時候，所謂的平均就成為了瞬時的概念。

所以，若用 $$\vec{v}$$ 代表瞬時速度，則當 $$\Delta t\to 0$$，$$\Delta \vec{S}\to 0$$ 時，$$\displaystyle\vec{V}=\frac{\Delta \vec{S}}{\Delta t}\rightarrow \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{S}}{\mathrm{d}t}$$

這裡 $$\mathrm{d}t$$ 代表無限短的時間間隔，$$\mathrm{d}\vec{S}$$ 代表這無限短的時間內物體所作的位移，當然，這個量也是無限小的。既然它們都是無限小的量，不是都是零嗎?有甚麼意義呢?其實，對我們來說，真正有意義的量是它們的比值，或是微分，而這個值就是瞬時速度。在數學上，微分，或是這類很微小變化量的比值，可以用來求出函數的斜率，也就是函數變化快慢的量度。

例如：$$\displaystyle f'(t) = \frac{{df(t)}}{{dt}} = \mathop {\lim }\limits_{dt \to 0} \frac{{f(t + dt) – f(t)}}{{dt}}$$

$$f'(t)$$ 即為函數 $$f(t)$$ 的斜率，這同樣可以類比成差分 $$\displaystyle\frac{\Delta f(t)}{\Delta t}$$ 在 $$\Delta t\to 0$$ 的極限，

$$\displaystyle\frac{\Delta f}{\Delta t}(t)$$ 可以看成是在時間 $$t$$ 到 $$t+\Delta t$$ 之間的平均變化 $$\displaystyle\frac{{\Delta f}}{{\Delta t}}(t) = \frac{{f(t + \Delta t) – f(t)}}{{\Delta t}}$$

所以，所謂的瞬時速度，其實就是 $$\vec{S}$$ 此位移的斜率，是位移隨時間變化大小的量度，而平均速度，則是在一定時間內位移的平均變化。

接下來，我們來看看速度的單位：

若把長度表達為 $$L$$，時間表達為 $$T$$，則速度的單位為 $$L/T$$。在SI (International System of Units)制當中，長度 $$L$$ 為公尺 $$m$$，時間 $$T$$ 為秒 $$s$$，所以速度的單位為 $$m/s$$。而日常生活中，我們常用的速度單位還有時速 $$km/hr$$。

我們來看看如何將單位從 $$km/hr$$ 換成 $$m/s$$。因為 $$1~km=1000~m$$，$$1~hr=3600~s$$

所以 $$1~km/hr=1000~m/hr=\frac{1000}{3600}m/s=\frac{5}{18}m/s$$

若用瞬時速度來區分，我們可以把運動簡單的分為等速度運動，等加速度運動，以及變加速度運動：顧名思義，等速度運動即為瞬時速度固定的運動，此時，平均速度等於瞬時速度。在牛頓力學中，我們在等速度運動的坐標系下描述物體的運動，此時也才有牛頓第二運動定律 $$F=ma$$，即力等於加速度乘上慣性質量。

等加速度運動即為加速度固定的運動，也就是說，瞬時速度以一個固定的比例增加。譬如說，有一個物體在一維中運動(x方向)，其運動速度以每秒 $$(1~m/s$$，$$+x$$ 方向$$)$$的增加速率增加，這個運動就是等加速度運動。如果此物體起始瞬時速度為零，則 $$1$$ 秒過後，其速度為 $$(1~m/s$$，$$+x$$ 方向$$)$$，$$2$$ 秒過後，其速度為 $$(2~m/s$$，$$+x$$ 方向$$)$$，以此類推。所以其 $$\text{v-t}$$ 圖為

圖二(作者提供)

而變加速度運動則為速度不固定，且加速度也不固定的運動，如圓周運動便是。圓周運動的加速度大小是固定的，但是方向是由物體的瞬時位置指向圓心，所以方向是隨時間變化的。

速度的極限：在牛頓力學中，速度是沒有極限的，也就是說，可以有無窮快的速度。但是在近代的物理當中，物理學家發現光速是恆定的，由愛因斯坦的狹義相對論可以推論出，最大的速度就是光速(約 $$2.998\times 10^8~m/s$$)，有質量的物體是絕對無法超越這個速度的，且僅有質量為 $$0$$ 的粒子(如:光子等)可以達到這個速度。