能階

Posted on 2013/10/20 in 物理, 近代物理學的簡介 Introductory Modern Physics, 量子論 with 有 4 則迴響 37,977 views

能階
國立臺灣大學物理研究所李培瑋

能階：指原子內電子所能存在的量子態；即電子只能在特定能量的軌道上運動，這些具有特定能量的軌道，稱為能階。

能階的概念，最早於1913年波耳(N. Bohr) 藉由探討氫原子光譜所提出的假設，其理論補足並修正了拉塞福(E. Rutherford)原子模型的缺失。

拉塞福原子模型

拉塞福(Rutherford)透過α-粒子(氦的原子核，He²⁺)撞擊薄金箔紙的實驗發現：大部份α-粒子會直接穿過，但仍有極少部分會以大角度反彈。因此推論原子的結構應該是：大部份質量、正電荷集中於中心的極小區域(原子核)，而原子核周圍則環繞著帶負電的電子。當然，科學家(包括拉塞福在內)都理解到此模型有著嚴重的問題。根據電磁學理論，帶電粒子做加速度運動的過程中會輻射出電磁波並因此失去能量。若電子繞著原子核做圓周運動，必會輻射出電磁波，導致電子能量漸減，繞核運動的半徑會愈來愈小，最終電子必墜毀於原子核(如圖一所示)。以氫原子為例，電子存在於氫原子的時間約為2×10^-11秒，但這與原子的穩定存在不吻合。此外，拉塞福原子模型亦無法解釋原子光譜的不連續性。

圖ㄧ、不穩定的原子模型

波耳氫原子模型

1913年，波耳(Bohr)探討氫原子光譜提出了氫原子模型，加入能階的假設。於此模型中，電子繞原子核作圓周運動只能存在於某些特定能量的圓形軌道上，以庫侖力作為向心力，角動量 $$L$$ 為 $$h/2\pi$$ 的整數倍，即

$$L_n=mv_nr_n=nh/2\pi~~~~~~~~~(1)$$

$$n=1,2,3,…$$(軌道量子數)

$$h\approx 4.135\times 10^{-15}~eV\times s$$ 普朗克常數

自原子核內而外分別以 $$n=1, 2, 3,…$$ 的量子數來代表不同的能階的軌道，或以 $$K(n=1)$$、$$L(n=2)$$、$$M(n=3)$$、$$N(n=4)…$$ 來表示，如圖二。波耳假設電子在這些特定的軌道上運動為穩定態，不輻射電磁波。

圖二、波耳氫原子軌道示意圖 (圖片為作者提供)

電子在特定軌道上具有一定的能量，稱為能階。根據波耳模型，電子環繞原子核的向心力即為彼此的庫侖力，故

$$\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}~~~~~~~~~(2)$$

因此電子位於第 $$n$$ 層軌道的總能量 $$E_n$$，可以用電子的動能與位能和來表示

$$\displaystyle E_n=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n}~~~~~~~~~(3)$$

結合 $$(1)$$、$$(2)$$、$$(3)$$，總能量 $$E_n$$ 又可以改寫為

$$\displaystyle E_n=-\frac{me^4}{8\varepsilon^2_0h^2n^2},~~~n=1,2,3,…$$

以氫原子而言，電子位於 $$n=1$$ 的能階上，此時電子的能量為最低的狀態 $$(E_1\approx{13.6}~eV)$$，稱為基態(ground state)；若此電子吸收能量躍遷至較高能階時，此時位於高能階的電子則稱為受激態(excited state)。原子中的電子從能階 $$i$$ 躍遷到能階 $$f$$ 時，會放出或吸收光子，$$\Delta E=E_i-E_f$$(如圖三所示)。根據能量守恆，其頻率 $$\nu$$ 為

$$\nu=(E_i-E_f)/h$$

若外來能量不等於原子中任意兩能階的能量差，則原子不吸收此能量。因此亦解釋了氫原子光譜的不連續性。

圖三、能階躍遷示意圖(圖片為作者提供)

隨著光譜技術的提高，原子光譜的精細結構、超精細結構被發現，波耳模型均無法正確解釋這些實驗結果。這是因為沒有考慮到(1)電子(以及質子與中子)都具有磁矩(2)電子和真空中的電磁場之量子交互作用。要正確解釋這些能階，物理學家可以利用後來發展出來的量子力學(quantum mechanics)以及量子電動力學(quantum electrodynamics)做完整的描述。

參考資料