用向量來看圓系(Use Vectors to Understand Family of Circles)(1)

用向量來看圓系(Use Vectors to Understand Family of Circles)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在圓與直線的章節中，常有這樣的難題：

過兩圓 \(C_1:x^2+y^2+4x-6y-12=0\) 與 \(C_2: x^2+y^2-2x+2y-18=0\)

的交點，求圓心在 \(x+y+1=0\) 上的圓方程式。

一種可能的作法是先找出 \(C_1\) 與 \(C_2\) 的交點，再設法求所找之圓的圓心坐標及半徑，解法如下：

首先，解聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 4x – 6y – 12 = 0 \cdots \cdots (1)\\ {x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 18 = 0 \cdots \cdots (2)\end{array} \right.\)

由 \((1)(2)\) 可得，過兩圓交點的直線為 \(\displaystyle{3x} – 4y + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{{4y – 3}}{3}\)，

代入 \((2)\) 式，得

\({(\frac{{4y – 3}}{3})^2} + {y^2} – 2(\frac{{4y – 3}}{3}) + 2y – 18 = 0\)

\(\Rightarrow 5{y^2} – 6y – 27 = 0 \Rightarrow y = 3\) 或 \(y=-\frac{9}{5}\)

當 \(y=3\) 時，則 \(x=3\)；當 \(y=-\frac{9}{5}\)，則 \(x=-\frac{17}{5}\)

因此，交點坐標為 \(A(3,3)\) 及 \(B(-\frac{17}{5},-\frac{9}{5})\)，且弦 \(\overline{AB}\) 的中點為 \((-\frac{1}{5},\frac{3}{5})\)

\(\therefore\) 弦 \(\overline{AB}\) 的中垂線方程式為 \(4x+3y-1=0\)

而所求之圓的圓心為 \(x+y+1=0\) 及弦 \(\overline{AB}\) 的中垂線之交點，

解聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y – 1 = 0\\ x + y + 1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = – 5 \end{array} \right.\)，

所求之圓的圓心為 \(O(4,-5)\)，半徑 \(r=\overline{OA}=\sqrt{65}\)

因此，所求之圓的方程式為 \((x-4)^2+(y+5)^2=65\)

然而，過程相當繁複，迫使許多高中教師只好使出壓箱招式，提出「圓系」的解法：

設所求之圓的方程式為

\(({x^2} + {y^2} + 4x – 6y – 12) + k({x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 18) = 0\)

\(\Rightarrow (k + 1){x^2} + (k + 1){y^2} + ( – 2k + 4)x + (2k – 6)y + ( – 18k – 12) = 0 \cdots~~~(1)\)

整理後，可得圓心 \(\displaystyle(-\frac{{-2k+4}}{{2(k+1)}},-\frac{{2k-6}}{{2(k+1)}})=(\frac{{k – 2}}{{k+1}},\frac{{-k+ 3}}{{k + 1}})\)

依題意，圓心在 \(x+y+1=0\) 上，

\(\Rightarrow \displaystyle\frac{{k-2}}{{k+1}} + \frac{{-k+3}}{{k+1}}+1=0 \Rightarrow k + 2 = 0 \Rightarrow k=-2\)，

代入 \((1)\)，得所求之圓的方程式為 \(x^2+y^2-8x+10y-24=0\)

儘管方法變得簡潔，但其中關鍵步驟─圓系─將所求之圓寫成兩圓之線性組合，卻是需要進一步說明。什麼是「圓系」呢？簡單地說，就是過兩圓交點的圓方程式，可以寫成已知兩圓方程式的線性組合。

給定兩圓

\({C_1}:{x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0\) 與 \({C_2}:{x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2} = 0\)，

且兩圓交於 \(A\)、\(B\) 兩點。則過兩交點 \(A\)、\(B\) 的圓 \(C_3\) 的方程式可以寫成

\(\alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0\)，\(\alpha^2+\beta^2\ne 0\)。

更進一步，若 \(\alpha\ne 0\)，則圓 \(C_3\) 方程式可以改寫成

\(({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + \frac{\beta }{\alpha }({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0\)，

即 \(({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + k({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0\)

除了利用平面族定理的結果與形式「類推」圓系外，能不能有其他的說法可以清楚地出線性組合的由來？此處我們想透過向量中三點共線的性質來幫助我們達成這個目的。先複習一下，什麼是三點共線性質：

\(A\)、\(B\)、\(P\) 三點共線存在 \(\Leftrightarrow\) 存在 \(t\in \mathbb{R}\)，且 \(t\ne 0\)，使得 \(\vec{AP}=t\vec{AB}\)

\(\Leftrightarrow\) 存在兩實數 \(\alpha\)、\(\beta\)，且 \(\alpha+\beta=1\)，使得 \(\vec{OP}=\alpha\vec{OA}+\beta\vec{OB}\)

接下來，就可以展開我們對「圓系」的討論。

首先，從圖一，不難看到一個簡單的幾何性質：凡過交點 \(A\)、\(B\) 的圓 \(C_3\)，它的圓心一定會與已知圓 \(C_1\)、\(C_2\) 的圓心 \(O_1\) 與 \(O_2\) 共線。由 \(\overline{AB}\) 為各圓的公共弦來看，這個性質顯然是成立的。如此一來，若我們設 \(O\) 為原點，則

\(\displaystyle{C_1}:{x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0 \Rightarrow {O_1}( – \frac{{{d_1}}}{2}, – \frac{{{e_1}}}{2}) \Rightarrow\vec{OO_1}=( – \frac{{{d_1}}}{2}, – \frac{{{e_1}}}{2})\)

且

\(\displaystyle{C_2}:{x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2} = 0 \Rightarrow {O_2}( – \frac{{{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_2}}}{2}) \Rightarrow\vec{OO_2}= (-\frac{{{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_2}}}{2})\)

又 \(O_1\)、\(O_2\) 與 \(O_3\) 三點共線，故 \(\vec{OO_3}=\alpha\vec{OO_1}+\beta\vec{OO_2}\)，其中 \(\alpha+\beta=1\)。 

因此，

\(\begin{array}{ll}\displaystyle \vec{OO_3} &=\displaystyle \alpha ( – \frac{{{d_1}}}{2}, – \frac{{{e_1}}}{2}) + \beta ( – \frac{{{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_2}}}{2}) = ( – \frac{{\alpha {d_1} + \beta {d_2}}}{2}, – \frac{{\alpha {e_1} + \beta {e_2}}}{2})\\&=\displaystyle(-\frac{{\frac{{\alpha{d_1}+\beta {d_2}}}{{\alpha+ \beta }}}}{2},-\frac{{\frac{{\alpha {e_1}+\beta {e_2}}}{{\alpha+\beta }}}}{2})\end{array}\)

 (因為 \(\alpha+\beta=1\))

所以，\(C_3\) 的圓心 \(O_3\) 坐標為 \(\displaystyle( – \frac{{\frac{{\alpha {d_1}+\beta {d_2}}}{{\alpha+ \beta }}}}{2}, – \frac{{\frac{{\alpha {e_1}+ \beta {e_2}}}{{\alpha+ \beta }}}}{2})\)

再逆推，\(C_3\) 的圓方程式可知為 \({x^2} + {y^2} + (\frac{{\alpha {d_1} + \beta {d_2}}}{{\alpha+ \beta }})x+ (\frac{{\alpha {e_1}+ \beta {e_2}}}{{\alpha+ \beta }})y + (\( 常數項 \()=0\)

\(\Rightarrow (\alpha+ \beta ){x^2} + (\alpha+ \beta ){y^2} + (\alpha {d_1} + \beta {d_2})x + (\alpha {e_1}+ \beta {e_2})y + (\) 常數項 \()=0\)

\(\Rightarrow \alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y) + (\) 常數項 \()=0~~~~~~(*)\)

接著我們要求出常數項的部份，由於交點 \(A(x_1,y_1)\) 在圓 \(C_1\) 與 \(C_2\) 上，必須滿足方程式

\({x_1}^2 + {y_1}^2 + {d_1}{x_1} + {e_1}{y_1} + {f_1} = 0\) 與 \({x_1}^2 + {y_1}^2 + {d_2}{x_1} + {e_2}{y_1} + {f_2} = 0\)。

又 \(A\) 點在圓 \(C_3\) 上，滿足 \((*)\) 式為

\(\alpha(x_1^2+y_1^2+d_1x_1+e_1y_1)+\beta(x_1^2+y_1^2+d_2x_1+e_2y_1)+(\) 常數項 \()=0\)

\(\Rightarrow \alpha(-f_1)+\beta(-f_2)+(\) 常數項 \()=0\Rightarrow\) 常數項 \(=\alpha f_1+\beta f_2\)

(由 \(B\) 點也會得出相同的結果)，進一步整理 \((*)\) 式，

\(\alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y) + (\alpha {f_1} + \beta {f_2}) = 0\)

\(\Rightarrow \alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0\)

因此，給定兩圓 ：\({C_1}:{x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0\) 與 \({C_2}:{x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2} = 0\)，且兩圓交於 \(A\)、\(B\) 兩點。我們不難發現：過兩交點 \(A\)、\(B\) 的圓 \(C_3\) 的方程式可以寫成兩圓方程式的線性組合

\(\alpha ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + \beta ({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0\)

 當 \(\alpha\ne 0\) 時，進一步改寫成

\(({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + k({x^2} + {y^2} + {d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0\)

事實上，若我們再進一步推想：兩圓相交於兩點時，過兩交點的圓都可以表示成兩圓方程式的線性組合。那麼，若考慮一圓與一線相交於兩點時，則過兩交點的圓可以表示成圓方程式與直線方程式的線性組合嗎？

如右圖，給定 \({C_1}:{x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1} = 0\) 及直線 \(L:d_2x+e_2y+f_2=0\)，則過 \(C_1\) 與 \(L\) 之交點 \(A\)、\(B\) 的圓該如何描述呢？

仔細想想，如果將直線看成圓心在無限遠處，半徑為無限大的圓，由上述的說明，不難了解圓 \(C_2\) 也可寫成 \(({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + k({d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0\)。不過，我們也可由向量的觀點加以說明。因為 \(L\) 的法向量 \(\vec{n}=(d_2,e_2)\)，加上 \(O_1\)、\(O_2\) 二點共線，

所以

\(\displaystyle\vec{OO_2} = \vec{OO_1} + t\vec{n} = ( – \frac{{{d_1}}}{2}, – \frac{{{e_1}}}{2}) + t({d_2},{e_2}) = ( – \frac{{{d_1} + ( – 2t){d_2}}}{2}, – \frac{{{e_1} + ( – 2t){e_2}}}{2})\)

\(\displaystyle= ( – \frac{{{d_1} + k{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_1} + k{e_2}}}{2})\)   (令 \(k=-2t\))

\(\displaystyle\Rightarrow{O_2}( – \frac{{{d_1} + k{d_2}}}{2}, – \frac{{{e_1} + k{e_2}}}{2})\)

所以，圓 \(C_2\) 的方程式可表為

\({x^2} + {y^2} + ({d_1} + k{d_2})x + ({e_1} + k{e_2})y + (\) 常數項 \()=0\)

\(\Rightarrow ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y) + k({d_2}x + {e_2}y) + (\) 常數項 \()= 0\)

接下來求常數項，由於點 \(A(x_1,y_1)\) 在圓 \(C_1\) 與直線 \(L\) 上，

滿足 \({x_1}^2 + {y_1}^2 + {d_1}{x_1} + {e_1}{y_1} + {f_1} = 0\) 與 \({d_2}{x_1} + {e_2}{y_1} + {f_2} = 0\)。

又點也在圓上，所以滿足\((**)\)式，

\(({x_1}^2 + {y_1}^2 + {d_1}{x_1} + {e_1}{y_1}) + k({d_2}{x_1} + {e_2}{y_1}) + (\) 常數項 \()=0\Rightarrow\) 常數項 \(=f_1+kf_2\)

整理\((**)\)式，便可得到

\(({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y) + k({d_2}x + {e_2}y) + ({f_1} + k{f_2}) = 0\)

\( \Rightarrow ({x^2} + {y^2} + {d_1}x + {e_1}y + {f_1}) + k({d_2}x + {e_2}y + {f_2}) = 0\)

更進一步，過兩圓交點的直線(常被稱為兩圓的根軸)方程式如何求呢？由上述關係推敲，不難發現 \(C_2=C_1+kL\Rightarrow kL=(C_1-C_2)\)，所以根軸的方程式正是由這兩圓方程式相減即得。

綜合上述，本文利用向量的性質來說明圓系線性組合形式的由來，藉此展現數學中基本觀念的延伸與推廣的重要性。如此一來，才能夠將許多學習過的主題連結起來，讓數學知識得以流動，激發生命力，而非零碎地理解它。