微分應用在函數圖形的特徵上

微分應用在函數圖形的特徵上
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

一、前言

99課綱的的數學I教材中，在多項式函數的章節裡，有一單元為單項函數，要求學生認識與繪製 $$f(x)=x^3$$ 或 $$x^4$$ 的函數圖形，然後再利用平移認識 $$f(x) = {(x – h)^3} + k$$（或 $$f(x) = {(x – h)^4} + k$$）的圖形即可。

以現階段學生學得的數學知識而言，確實他們也只能學習到此，但是在某些有關三次方程式的實根問題中，如果學生可以知道一般三次函數的圖形時，配合圖形來討論實根，將可降低題目的難度，以及提升學生對解題過程的理解。以下筆者配合微分的學習，來說明三次函數的圖形。

二、函數的遞增與遞減

設 $$f (x)$$ 為一函數，其定義域 $$D\subset R$$。對 $$D$$ 中任意 $$x_1, x_2$$，滿足「若 $$x_1>x_2$$，則 $$f(x_1)\ge f(x_2)$$」具有這個性質的函數，稱為遞增函數。

也就是說，當自變數 $$x$$ 增加時，其相對應的函數 $$f(x)$$ 也增加（或至少相等），那麼其函數圖形就會有「右移則上升」的現象。例如 $$y=x$$ 的圖形（如圖一）。若 $$x_1>x_2$$，則 $$f(x_1)>f(x_2)$$，則 $$f(x)$$ 稱為嚴格遞增函數。

設 $$f(x)$$ 為一函數，其定義域 $$D\subset R$$。對 $$D$$ 中任意 $$x_1,x_2$$，滿足「若 $$x_1>x_2$$，則 $$f(x_1)\le f(x_2)$$」具有這個性質的函數，稱為遞減函數。

也就是說，當自變數 $$x$$ 增加時，其相對應的函數 $$f(x)$$ 卻減少（或至少相等），那麼其函數圖形就會有「右移則下降」的現象。例如 $$y=-2x+3$$ 圖形（如圖二）。若 $$x_1>x_2$$，則 $$f(x_1)<f(x_2)$$，則 $$f(x)$$ 稱為嚴格遞減函數。

由於函數 $$y=f(x)$$ 在 $$x=a$$ 的導數 $$f'(a)$$ 代表在點 $$(a, f(a))$$ 的切線斜率，因此當導數為正時，切線斜率為正。若 $$x$$ 在某一段範圍內，切線斜率皆為正數，那麼函數在這段範圍為遞增，反之則為遞減：

設 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 內導函數 $$f'(x)$$ 存在

$$(1)$$ 若 $$f'(x)\ge 0$$ 時，則 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 內為遞增函數。
反之，若 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 內為遞增函數，則對於每一個，$$f'(x)\ge 0$$。

$$(2)$$ 若 $$f'(x)\le 0$$ 時，則 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 內為遞減函數。
反之，若 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 內為遞減函數，則對於每一個，$$f'(x)\le 0$$。

三、函數圖形的凹向與反曲點

在高一的課程中，利用指數函數與對數函數的圖形特性，以幾何直觀的方式讓學生認識何謂圖形的凹向：圖形上在某段範圍內，若任兩點的連線段都在圖形的上方，則稱為凹口向上，如圖三；圖形上在某段範圍內，若任兩點的連線段都在圖形的下方，則稱為凹口向下，如圖四。

由圖三與圖四也可看出，當切線斜率越來越大時，函數圖形凹口向上；當切線斜率越來越小時，函數圖形凹口向下，即

設 $$f(x)$$為多項式函數
$$(1)$$    當 $$f'(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 為嚴格遞增函數，稱 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 的圖形為凹口向上。
$$(2)$$    當 $$f'(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 為嚴格遞減函數，稱 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 的圖形為凹口向下。

而 $$f'(x)$$ 這個函數的遞增與遞減，可由它的導函數 $$f”(x)$$ 來判斷，因此可得函數圖形的凹向與導數的關係：

$$(1)$$   若區間 $$(a, b)$$ 內，$$f”(x)>0$$ 恆成立（即 $$f'(x)$$ 為嚴格遞增），則 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 的圖形為凹口向上。
$$(2)$$   若區間 $$(a, b)$$ 內，$$f”(x)<0$$ 恆成立（即 $$f'(x)$$ 為嚴格遞減），則 $$f(x)$$ 在區間 $$(a, b)$$ 的圖形為凹口向下。

若函數 $$f(x)$$ 的圖形在點 $$P(a, f(a))$$ 之左右兩側，一為凹口向上，一為凹口向下，則 $$P$$ 稱為 $$f(x)$$ 圖形的反曲點。此時 $$f”(a)=0$$，但是 $$f”'(a)\ne 0$$（因為凹口要有變化才成稱為反曲點），如下圖五的 $$P$$ 點。

(圖五)

四、函數的極值

當函數 $$y=f(x)$$ 在 $$x=a$$ 有（相對）極大值時，可以發現函數圖形在 $$x=a$$ 的左右兩邊，切線斜率由正數變為負數，如下圖六；反之，當函數 $$y=f(x)$$ 在 $$x=a$$ 有（相對）極小值時，可以發現函數圖形在 $$x=a$$ 的左右兩邊，切線斜率由負數變為正數，如下圖七。

因此可得與函數導數及與極值有關的兩個定理：

定理 $$1.$$ 若函數 $$f(x)$$ 在 $$x=a$$ 處有極值（極大值或極小值），且 $$f(x)$$ 在 $$x=a$$ 處可微分，則 $$f'(a)=0$$。（即在 $$x=a$$ 處有一條斜率為 $$0$$ 的水平切線）

證明：

$$\because x=a$$ 可微   $$\therefore \displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}}$$ 存在

當 $$f(x)$$ 在 $$x=a$$ 處有極大值時，即在 $$x=a$$ 附近，$$f(a)\ge f(x)$$，

因此 $$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} \le 0$$，而 $$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}} \le 0$$

故可得 $$\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) – f(a)}}{{x – a}}=0$$，即 $$f'(a)=0$$。

同理，在 $$x=a$$ 處有極小值時，$$f'(a)=0$$

定理 $$2.$$ 設函數 $$f(x)$$ 在 $$a$$ 點附近的各點都可微分，且$$f'(a)=0$$，

1. 若在 $$a$$ 點附近，當 $$x<a$$ 時，$$f'(x)>0$$，當 $$x>a$$ 時，$$f'(x)<0$$，則 $$f(x)$$ 在 $$x=a$$ 處有（相對）極大值。
2. 若在 $$a$$ 點附近，當 $$x<a$$ 時，$$f'(x)<0$$，當 $$x>a$$時，$$f'(x)>0$$，則 $$f(x)$$ 在 $$x=a$$ 處有（相對）極小值。

除此之外，函數可能出現極值的點，還需要考慮函數的不可微分點，以及定義域的端點。
例如 $$f(x)=\left|x\right|$$，在 $$x=0$$ 實不可微，但函數在 $$x=0$$ 時有極小值；而函數 $$f(x)=\sqrt{x},~x\ge 0$$，$$x=0$$ 為定義域的端點，在 $$x=0$$ 時函數有極小值。