迴旋頻率 (cyclotron frequency)

迴旋頻率 (cyclotron frequency)
國立臺灣大學天文物理研究所吳志恆

當帶電粒子相對磁場運動時，粒子會受到勞侖茲力(Lorentz force)的作用，又因為勞侖茲力為 $$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$，所以勞侖茲力的方向與速度的方向垂直。所以，自由帶電的粒子在均勻的磁場中運動時，因為勞侖茲力的方向與速度的方向垂直，所以磁場不會對粒子作功，因此粒子的速率不變。因為粒子的速率不變，根據牛頓第二定律，當物體初速度與磁力是垂直的時候，它受到此量值為恆定的力，則運動軌跡的曲率不變，所以物體在作圓周運動。

圖一

這很自然就會引伸出一個問題，我們知道圓周運動是具有週期性的運動，因此我們希望知道粒子的運動週期。如圖一所示，因為粒子的向心力是由勞侖茲力提供，因此我們可以寫下以下等式：

$$F=\left|q\vec{v}\times \vec{B}\right|=\displaystyle m\frac{v^2}{R}$$

若磁場與粒子的速度垂直，則可以把式子化簡成：

$$\displaystyle{F}=qvB\sin{90^\circ}=m\frac{v^2}{R}$$

$$\displaystyle v=\frac{qBR}{m}$$

因為圓的周長是 $$2\pi R$$, 所以粒子走一圈的時間，也就是粒子的週期為

$$\displaystyle T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$$

因此迴旋頻率為：$$\displaystyle{f}=\frac{1}{T}=\frac{qB}{2\pi m}$$

應用：

到現在，我們已經把迴旋頻率算出來，之後的問題是迴旋頻率有甚麽特別的用途，以下會介紹一些應用的例子。

迴旋加速器：

圖二 迴旋加速器示意圖 (陳義裕繪)

粒子加速器在研究粒子物理是十分重要的工具，目前世界上最大的加速器是位於瑞士日內瓦的大強子對撞機(Large Hadron Collider), 簡稱LHC。而迴旋加速器是最基本的粒子加速器，它可以把電子加速到約十個百萬電子伏特（10 MeV）。

因為磁場不會作功，所以粒子在磁場的作用下只會轉彎而不會增加速率。因此要在加速器中間的空隙加上電壓差來產生電場，每當粒子經過空隙都會被加速。

這個時候我們注意到電場的方向要跟速度的方向相同才會被加速。如果施加固定電壓的話，粒子旋轉一個周期電場對粒子作的功為零。因此電場的方向要隨着速度的改變而改變，這個時候就要用到迴旋頻率。我們注意到迴旋頻率跟粒子的半徑跟速度無關，因此在不考慮相對論的情況下，迴旋頻率在這裏可以看成常數，所以我們要施加一個頻率跟迴旋頻率相相同的交流電來加速電子。

迴旋加速器可以用來加速質子以做為醫學用途。除了利用能量適當的質子來治療癌症外，也可以利用被加速的粒子束去撞擊適當的靶材以產生放射性元素，從而作為追蹤劑。

參考:  http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotron