相對論性質量(Transverse and Longitudinal Mass)

相對論性質量(Transverse and Longitudinal Mass)
國立臺灣大學物理研究所徐銘鍵

自從愛因斯坦發現狹義相對論之後，人們了解到質量和能量有緊密的關係，著名的質能互換公式(mass-energy equivalence)為

$$E=\sqrt{(m_0c^2)^2+(pc)^2}\equiv mc^2$$

其中 $$p$$ 是物體的動量，$$c$$ 是光速，$$m_0$$ 是靜止質量(rest mass; 也是一般人所熟知的質量)，$$m$$ 稱為相對論性質量(relativistic mass)，它可以說是直接從能量 $$E$$ 除以定義 $$c^2$$ 而來。

這公式表示了我們所熟知的能量，除了包括動能、位能、熱能…之外，總能量的一部分來自於或貢獻給物體的質量 $$m_0$$ 本身，這裡的質量指靜止質量，之所以稱靜止質量是因為此乃物體(或系統)靜止時，即動量 $$p=0$$ 時所測得的質量，此時能量並沒有整個系統動能的貢獻；靜止質量又稱羅倫茲不變質量(invariant mass)，是因為不論是哪一個慣性座標觀察者，各自測量到能量 $$E$$ 跟動量 $$p$$，必可從關係式 $$E^2-(pc)^2=m_0^2c^4$$ 得到 $$m_0$$ 為不變的質量常數。

由於狹義相對論指明，速率為 $$u$$ 的物體之動量可以寫成 $$p=\gamma m_0u$$，其中 $$\gamma=1/\sqrt{1-u^2/c^2}$$，所以有時人們會說運動中物體的質量會增加為 $$m=m_0\gamma$$，這個 $$m$$ 恰為上面所述的相對論性質量。

但質量也可以從物體被加速時其所受作用力與加速度的比值(這代表某種抵抗受力的程度)來定義，即 $$m=\frac{F}{a}$$ 公式。而狹義相對論告訴了我們時間和空間其實是很難區分的，兩個不同的慣性座標觀察者，各自測量到的時間和空間座標，不再是時間和空間各自獨立，其轉換式會將時間和空間(時空)混合。

更具體的說，假設相對於觀察者 $$A$$，觀察者 $$B$$ 沿著 $$x$$ 方向以固定速度 $$u$$ 來移動，則 $$B$$ 測量到的某物體的時空座標 $$(t’,x’,y’,z’)$$ 和 $$A$$ 所測量到的同一物體的時空座標 $$(t,x,y,z)$$ 彼此有一個關係

$$\displaystyle\begin{cases}t’=\gamma(t-\displaystyle\frac{u}{c^2}x)\\ x’=\gamma(x-ut)\\ y’=y\\ z’=z \end{cases}$$

其中 $$\gamma=1/\sqrt{1-u^2/c^2}$$ 為常數。

特別要注意的是只有沿著運動方向的座標(此例子為 $$x$$ 方向)和時間座標混和，而垂直方向($$y$$ 和 $$z$$ 方向)座標則仍是獨立的。但因速度涉及距離對時間的變化，所以不論 $$x,y,z$$ 方向測量到的物體速度，都是時間和空間混合的形式。

而明顯的，平行運動方向($$x$$ 方向)的速度，和垂直運動方向($$y,z$$ 方向)的速度，其時空混和的形式是不同的。同理，加速度的平行方向和垂直方向的形式也是不同的。依相對論性的原理，我們也可推得電磁場對帶電粒子的施力在不同座標之間的轉換式，其平行觀察者運動方向和垂直方向也是不同的。

綜合以上所述，我們必須修改牛頓力學的 $$F=ma$$ 公式，使其區分平行運動方向和垂直方向。假設我們觀察以固定速度 $$u$$ 沿著 $$x$$ 方向運動中的物體，其受力和加速度的關係為，

$$\begin{cases}f_x=m_La_x,~m_L=\gamma^3m_0\\ f_y=m_Ta_y,~m_T=\gamma m_0\\f_z=m_Ta_z,~m_T=\gamma m_0\\\end{cases}$$

重點在於，平行方向跟垂直方向的加速度對施力的抵抗程度不同，即平行方向為 $$m_L$$ 稱為平行質量(longitudinal mass)，垂直方向為 $$m_T$$ 稱為垂直質量(transverse mass)，兩者都和靜止質量有關，其關係式如公式所述，而平行質量和垂直質量只有在物體運動速度 $$u=0$$ (此時 $$\gamma=1$$)時相同，隨著速度 $$u$$ 愈接近光速 $$(\gamma \to \infty)$$，平行質量和垂直質量愈來愈大，所以我們會發現越來越難推動此物體(和系統)，而平行質量增加的比例大於垂直質量隨速度 $$u$$ 增加的比例，即兩者是不相等的。

平行質量以及垂直質量的區別多見於較舊的文獻中。現代對於質量的見解，則傾向於將之定義為物體從靜止中被加速時，作用力與加速度的比值，亦即 $$m=F/a$$。如前所述，這個說法所定義出來的質量即是靜止質量 $$m_0$$，它是不會隨座標系而改變。

參考資料：

1. Wikipedia:  Mass in special relativity
2. Kevin Brown, Reflections on Relativity, Publisher: Lulu.com,( ISBN-13: 9781257033027)
   可另參考 http://www.mathpages.com/rr/rrtoc.htm