截止頻率

截止頻率 (cutoff frequency)
國立臺灣大學物理系博士班黃琮暐

截止頻率在不同的物理領域意義可能不同，此處我們討論一般電路學中的意義，至於它在x-光管中的意思，則請參照「截止頻率（量子論） 」條目。

截止頻率是指可以「有效」共振的頻率範圍，當超出這個範圍共振效果會急速地遞減。

在日常生活中最常見的就是當我們在調電台的時候，在某個電台頻段附近其實我們都可以收到該電台的訊號，然而再低一點或是再高一點的頻率就再也無法收到訊號。而這個「勉強」可以收到最低的頻段就稱為低截止頻率 (low frequency cutoff)、而最高的頻段為高截止頻率 (high frequency cutoff)，從最高截止頻率到最低截止頻率這個頻段被稱為「頻寬」，如下圖一 ¹。

圖一：f1和f2就是截止頻率，頻寬(bandwidth)就是這f2-f1的區域（引自參考資料1）。

藉由考慮一個受阻力（或稱為阻尼damping force）之外還外加一個隨時間週期變化的力 (driving force)之彈簧的運動現象，我們可以從物理上對這個現象作簡單的解釋。根據牛頓力學，此系統之運動方程式可以寫成：

$$\displaystyle m\vec{a}=-k\vec{x}-\gamma\vec{v}+F\cos{(\omega t)}\\\displaystyle\Rightarrow m\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}+\gamma\frac{d\vec{x}}{dt}+k\vec{x}=F\cos{(\omega t)}$$

其中 $$m$$ 為系統所懸掛的質量，$$\vec{a}$$、$$\vec{v}$$、$$\vec{x}$$ 為系統的加速度、速度、位移，$$k$$ 為彈簧本身的彈力係數、$$\gamma$$ 為阻尼係數、$$F$$ 為外加力的最大值，而 $$\cos{(\omega t)}$$ 代表了這外加力為週期性並且最大值為 $$F$$，$$\omega$$ 為外加力的角頻率($$=2\pi f$$，$$f$$ 為頻率)，而第二個式子只是改寫成微分方程式的型態(因為 $$\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}$$、$$\vec{a}=\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}$$)。

在這邊我們並不打算把這方程式解出來，有興趣的可以參閱參考資料^[1]。在高中物理我們知道一個自由的彈簧運動（SHM，即沒有右邊部分的第二、三項）之角頻率為 $$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$$，經過計算後會發現

$$\displaystyle P=P_0\frac{\gamma^2\omega^2}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}$$

其中 $$P$$ 和 $$P_0$$ 分別是指系統所獲得的功率 (power)以及系統在接近共振時 $$(\omega\approx\omega_0)$$ 所獲得的功率。這公式在這我們並沒有詳加證明，可以參閱參考資料²，而主要的推導是利用功率在彈簧下的定義 $$P=\frac{1}{2}F_0\omega A$$ （其中 $$F_0$$ 是外加的力、$$A$$ 是振幅大小）。所以從這公式可以看出當 $$W$$ 大約等於 $$W_0$$ 時系統可以得到最大功率。

換言之，就是在共振的時候，我們「恰好」調到正確頻率上！而當 $$W\ne W_0$$ 依然可以獲得能量，但是 $$W\gg W_0$$ 或是 $$W\ll W_0$$ 時，所獲得的能量就相對小了許多。有時候我們可以方便地將 $$P=\frac{1}{2}P_0$$ 時當成是共振的有效範圍，也就是把 $$\omega=\sqrt{\omega_0^2+\frac{1}{4}\gamma^2}\pm\frac{1}{2}\gamma$$ 當作角頻率的有效範圍。

類似地，在電路學上或是一開始我們所說的收音機問題，我們可以考慮一個簡單的迴路（只包括電阻$$(R)$$、電感$$(L)$$、電容$$(C)$$），如圖二。根據電路學理論我們可以推出：

$$\displaystyle L\frac{d^2~i}{dt^2}+R\frac{d~i}{d~t}+Ci=V\cos{\omega t}$$

圖二:一個簡單的RLC電路（引自參考資料3）。

其中 $$i$$ 為流經的電流、$$V$$ 為外加電壓的最大值、$$\cos \omega t$$ 是代表外加一個隨時間周期變化的外電壓場(注意這邊我們主要只是要讓數學型式與前面討論相同，然而在普通交流電的例子或許右邊的形式不再是 $$\cos \omega t$$ 的形式，然而這不會影響所有定性的討論，只有在定量的討論有稍許的不同)，而從直接對比之下電感 $$(L)$$ 就相當於質量 $$(m)$$、電阻 $$(R)$$ 對比於阻尼係數 $$(r)$$、電容 $$(C)$$ 對應於彈性係數 $$(k)$$。

所以可以利用相同的方法去求得這個系統可以接收有效頻率的範圍。之所以多講了這部分，主要是想傳達兩個想法：第一、力學系統常常可以利用電路學的方法去模擬與預測，而這包括了建造建築物的情況（例如：考慮橋樑被「風吹」（相當於外加的場）的影響等等。第二、在利用線路傳遞電訊號時，以上這個簡單電路只能讓很窄的特定頻段的訊號通過，但是在電路學上我們可以利用更多個LC迴圈串接在一起的方法來讓一整個頻寬之內所有的頻率都通過，使其效率都趨近於最大值，如圖三。

圖三：(a)一個無限的LC電路迴圈可使得頻寬範圍中的頻率維持一定的能量。(b)此線路使得特定頻寬內的所有訊號都能通過。（陳義裕繪；詳盡的推導可參閱參考資料4）

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參考資料

1. http://www.sengpielaudio.com/calculator-cutoffFrequencies.htm
2. Berkeley physics course-volume 3 (McGraw-Hill International Edition)(ISBN:0-07-113232-5)
3. http://en.wikipedia.org/wiki/RLC_circuit4 The Feynman Lectures on Physics—Vol.2, Sec. 22-6 and 22-7.