可逆矩陣（Invertible Matrix）

可逆矩陣（Invertible Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

連結：矩陣乘法的限制及性質

在了解何謂矩陣、矩陣的基本運算及乘法的限制後，我們知道矩陣並沒有消去律，也就是當 \(AB=AC\)（或 \(BA=CA\)）時，\(B=C\) 不一定成立（註1）。

沒有消去律在運算上是一件很不方便的事，當有了 \(AB=AC\) 卻得不到 \(B=C\)，就好比兩個人從山的兩側挖隧道，預計在中點處貫通，當兩個人都挖了相同的距離之後，竟發現隧道不一定會相通，那接下來麻煩可就大了！

所以，很自然地，我們就會想知道怎麼樣才能保證隧道會貫通，也就是說在哪些情況下，\(AB=AC\) 兩邊的 \(A\) 是可以消去的？

我們想要找出哪些 \(A\) 可以從 \(AB=AC\) 的兩邊消去，就是要找出哪些「方」陣 \(A\) 可以滿足 \(AM=MA=I\)（註2），其中為 \(I\) 單位方陣；因為一旦 \(AM=MA=I\) 成立，那我們就可以在 \(AB=AC\)（或 \(BA=CA\)）的兩側同時乘上 \(M\)，然後 \(A\) 就會被消去了，即：

\(MAB=MAC\)（或 \(BAM=CAM\)）\(\Rightarrow IB=IC\)（或 \(BI=CI\)）\(\Rightarrow B=C\)

請注意，由於矩陣的乘法沒有交換律（\(MAB\) 與 \(ABM\) 不一定相等），所以上面的式子中，等號兩邊的 \(M\) 要有相同的對應位置，也就是一律從左側乘上 \(M\)，或是一律從右側乘上 \(M\)。

符合 \(AM=MA=I\) 的方陣 \(A\)，我們就稱它是「可逆的」(invertible)，或稱為「可逆矩陣」、「可逆方陣」，而 \(M\) 就稱為 \(A\) 的「反矩陣」或「反方陣」，換句話說，\(A\) 與 \(M\) 互為乘法反元素（註3），我們就將 \(M\) 記作「\(A^{-1}\)」（註4）。

至此，我們的問題就轉變成：哪些方陣 \(A\) 是可逆的？且如何求其反方陣？

我們先以 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right]\) 為例說明如何判別它是可逆及如何求它的反矩陣。

假設 \(A\) 有反方陣 \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&z\\ y&u \end{array}} \right]\)，

則 \(AM = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&z\\ y&u \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2y}&{z + 2u}\\ {3x + 4y}&{3z + 4u} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)，

我們得到兩個聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 1\\ 3x + 4y = 0 \end{array} \right.\)、\(\left\{ \begin{array}{l} z + 2u = 0\\ 3z + 4u = 1 \end{array} \right.\)，

由於反方陣是唯一的（註5），所以這兩個聯立方程組都要有唯一的一組解。

我們不需要真的去解這兩個聯立方程組，

從 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}\,} \right| = – 2 \ne 0\) 就可以知道一定有唯一的解（註6）。

由於 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}\,} \right|\) 恰好就是 \(A\) 的元所形成的行列式，

我們就稱 \(\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}\,} \right|\) 是矩陣 \(A\) 的行列式，記作 \(\det~A\)。

換句話說，只要 \(\det~A\neq 0\)，我們就可以確定 \(A\) 是可逆的，然後就可以求 \(A\) 的反方陣。至於求法，其實就是解聯立方程組。因為兩個聯立方程組的未知數係數都相同，所以我們用矩陣的高斯消去法（註7）來求解的話，就可以合併寫成一個：

所以，可得到 \(A\) 的反方陣 \(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&z\\ y&u \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 2}&1\\ {\frac{3}{2}}&{ – \frac{1}{2}} \end{array}} \right]\)。

將上述的過程一般化，我們就可以得到2階方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\) 的結論：

\((1)\)  \(\det A \ne 0\;\; \Leftrightarrow \;\;A\) 是可逆方陣。

\((2)\)  若 \(A\) 是可逆方陣，則 \({A^{ – 1}} = \displaystyle\frac{1}{{\det A}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} d&{ – b}\\ { – c}&a \end{array}} \right]\)。

其中結論 \((1)\) 可以推廣到 \(n\) 階方陣，

至於 \(n\) 階可逆方陣的求法，其實就是上述的方法，將矩陣 \(\left[ {\left. {A\;} \right|\;{I_n}} \right]\)， \(I_n\) 為 \(n\) 階單位方陣，

利用列運算（高斯消去法中所用的運算）化成 \(\left[ {\left. {{I_n}\;} \right|\;M} \right]\)，則 \(M\) 就是 \(A^{-1}\)。

2階可逆方陣有很簡單的表達式 \({A^{ – 1}} = \displaystyle\frac{1}{{\det A}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} d&{ – b}\\ { – c}&a \end{array}} \right]\)，\(n\) 階的表達式就複雜的多了，

在此不作介紹，請有興趣的讀者查閱線性代數的相關書籍。

註1：本文中提到的矩陣乘法，都是在有意義的情況下相乘的，也就是在能做乘法的情況下。
矩陣能相乘的條件，請參閱〈矩陣乘法的限制及性質〉一文）。

註2：當 \(A\cdot M\) 與 \(M\cdot A\) 都有意義時，\(A\) 與 \(M\) 必定是同階方陣。
請參閱〈矩陣乘法的限制及性質〉一文

註3：這解答了〈矩陣的運算〉一文中最後的一個問題。

註4：\(A^{-1}\) 中的 \(-1\) 代表「反」、「逆」(inverse)的意思，千萬不要讀成 \(A\) 的負 \(1\) 次方，而是要讀成 \(A\) 的反方陣，或是  \(A\) 的 inverse。

註5：

若 \(M\) 與 \(N\) 滿足 \(MA=AM=I\)、\(NA=AN=I\)，

則 \(MA=NA\)，兩邊都從右側乘上 \(M\)，可得：

\(MAM = NAM\;\; \Rightarrow \;\;M(AM) = N(AM)\;\; \Rightarrow \;\;M{\kern 1pt} I = N{\kern 1pt} I\;\; \Rightarrow \;\;M = N\)，

即反方陣是唯一的。

註6：請參閱本網站中洪誌陽的〈線性方程組的討論〉一文。

註7：關於高斯消去法可參閱本網站中蘇俊鴻的〈矩陣的高斯消去法〉一文。