二階方陣的分解(The Decomposition of 2-by-2 matrices)

二階方陣的分解(The Decomposition of 2-by-2 matrices)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

誠如〈平面上的線性變換〉一文所言，平面上的線性變換都會對應到唯一的二階方陣。因此，透過二階方陣分解成基本矩陣的乘積，我們就能了解這個方陣所對應的線性變換是由那些基本變換所合成，這也是本文最主要的內容。

想要將一個方陣進行分解，我們得從矩陣的列運算談起，矩陣的列運算有下面三種：

1. 將一矩陣的某一列乘上某一數值加入另一列。
2. 將一矩陣的某一列乘以一個不為0的數。
3. 將一矩陣的某一列中的某兩列互換位置。

事實上，對矩陣 $$M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]$$ 進行列運算的結果，等價於將矩陣 $$M$$ 乘上某些特殊矩陣：

換言之，任一個二階方陣 $$M$$ 經過基本列運算的結果就等於在 $$M$$ 的左邊乘上所對應的矩陣。

其中，$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]$$ 與 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]$$分別表示沿 $$x$$ 軸方向和沿 $$y$$ 軸方向的推移變換；

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]$$ 與 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]$$ 分別表示沿 $$x$$ 軸方向和沿 $$y$$ 軸方向的伸縮變換 $$(r>0)$$；

而 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]$$ 表示對於直線 $$y=x$$ 的鏡射變換。

接下來，以 $$M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right] $$ 為例實際進行分解，依據矩陣列運算：

也就是說，$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{\frac{{ – 1}}{3}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right]$$

因此，$${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]^{ – 1}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{\frac{{ – 1}}{3}} \end{array}} \right]^{ – 1}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}\\ 0&1 \end{array}} \right]^{ – 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right]$$

$$\Rightarrow\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{ – 3} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&1 \end{array}} \right]$$

由於 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{ – 3} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{ – 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&3 \end{array}} \right]$$，

故 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{ – 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 0&1 \end{array}} \right]$$。

所以，二階方陣 $$M=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ – 3}\\ 1&2 \end{array}} \right]$$所對應的線性變換，可以看成下列線性變換的合成：
「先沿 $$x$$ 軸方向推移坐標的 $$2$$ 倍」，再「沿 $$y$$ 軸方向伸縮 $$3$$ 倍」，
接著「對 $$x$$ 軸鏡射」，最後「對直線 $$y=x$$ 鏡射」。

透過上述過程，讀者大概也發現了並非任意的二階方陣均能分解，必須滿足 $$\det (M) \ne 0$$ 的條件。在此前提下，二階方陣 $$M$$ 可以化成一些基本矩陣的乘積，而這些基本矩陣對應的線性變換為鏡射、伸縮和推移。因此，二階方陣$$M$$ ($$\det (M) \ne 0$$)所對應的線性變換正是鏡射、伸縮、推移，或是它們的合成。