七二法則－複利估算（The Rule of 72）

七二法則－複利估算（The Rule of 72）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

無論在生活中或者進行生涯規劃、投資理財時，往往會遇到涉及利率、投資工具的平均酬率或者成長率等相關問題，又或者有關營收成長、經濟成長率等公司國家大事，在在離不開數學中的複利問題。也許你會好奇，在固定利率（成長率）之下，若希望本金、營收翻倍，又或者主政者希望GDP (Gross Domestic Product，國內生產毛額)翻倍，那需要多少年的時間呢？從另一個方向考慮，若希望在固定年限內（例如10年）本金能翻倍，那麼需要平均年成長率多少的投資工具或複利效果才能達成此目標呢？

舉例來說，現有本金100萬，若以8%複利計算，大約多少年會翻倍呢？在學過中學指對數相關數學知識與查對表之後，處理這個問題並不困難，首先我們假設本金為100（萬），以8%複利計算，並假設n期後本金翻倍，則可得下式：

\(200=100(1+\frac{8}{100})^n\)

此式即相當於求解指數方程式：

\(2=(1+\frac{8}{100})^n\)

兩邊取常用對數，並依對數律可得：

\(\log 2=n\log 1.08\)

依相關對數律以及查表可得：

\(0.301 \approx n\log 1.08 \approx n \cdot 0.0334\)

如此可得 \(n \approx \frac{{0.301}}{{0.0334}} \approx 0.901\)，亦即約九期後本金會翻倍。

以下再舉一例說明，假設某公司今年的年營收為100億，倘若公司希望在12年後能翻倍（即年營收達200億），則所需平均年成長率約為多少呢？這裡我們已知該公司今年的年營收為100（億），平均年成長率r %，若12年後營收翻倍，則可得下式：

\(200 = 100{(1 + \frac{r}{{100}})^{12}}\)

此式即相當於下述方程式：

\(2={(1 + \frac{r}{{100}})^{12}}\)

兩邊取常用對數，並依對數律可得：

\(\log 2 = 12\log (1 + \frac{r}{{100}})\)

\(\log (1 + \frac{r}{{100}}) \approx \frac{{0.301}}{{12}} \approx 0.02508\)

查表可知大約需要6年的時間。

從以上兩個例子的結論來看：

\(8\%\) 複利，經 \(9\) 年後翻倍。

\(12\) 年後翻倍，需 \(6\%\) 的長成率。

有沒有發現什麼樣有趣的關係呢？也許你已從上面的例子觀察出：

\(8\cdot 9=72;12\cdot 6=72\)

這裡的 \(72\) 是巧合嗎？事實上，「\(72\)」正是我們的經濟學上用來估算複利效果的一個魔術數字。一般而言，經濟學上有一個常用且相當實用的七二法則，可以幫助我們對複利效果作一簡單的估算，估算出本金倍增所需的時間或所需之利率。所謂的七二法則如下：

設本金為 \(M\)、若以複利計算，已知利率（成長率）為 \(r\%\)，則期數 \(n\)（\(n\) 為自然數）滿足 \(n\cdot r=72\) 時，本金約會翻倍，即本利和約成長為 \(2M\)。

舉例來說，本金100萬元，若以3%複利計算，則約24期後，會變成200萬元；若以4%複利計算，則約當18期後，變成200萬元。換個角度想，投資時，若希望本金在9年內翻倍，則需要年化報酬率8%的投資工具，以此類推，便可在固定利率（成長率）的條件下，估算出翻倍所需的期數，又或者在固定的期數限制下，估算出翻倍所需的利率（成長率）。

最後，我們試利用相關函數圖形來作簡單說明。首先設本金為 \(M\)、若以 \(x\%\) 的複利（成長率）計算，設期數為 \(y\)（\(y\) 為自然數）時，本金翻倍，即本利和約為原本的 \(2\) 倍 \(2M\)。可得下式：

\(2M = M{(1 + x)^y}\)

即 \(2=(1+x)^y\)，則 \(\log 2=y\log(1+x)\)，可得一函數 \(y = \frac{{\log 2}}{{\log (1 + x)}}\)，接著作此函數的圖形（如圖一所示），此函數的圖形的橫坐標為利率，縱坐標為期數。從圖中可以看出當利率18%時，約4期可達成翻倍；當利率9%時，約8期可達成翻倍；當利率8%時，約9期可達成翻倍；當利率6%時，約12期可達成翻倍；希望7期後達成翻倍，則利率約需10%；希望12期達成翻倍，則利率約需6%。

圖一 \(y=\frac{\log 2}{\log(1+x)}\) 之函數圖