為什麼保溫瓶要抽真空？

為什麼保溫瓶要抽真空？ (How vacuum helps thermos do their job)
國立臺灣大學物理系二年級101級 曾奕晴

保溫杯的主要功能，顧名思義，就是將瓶中的承裝物體維持在一定的溫度，也就是盡量避免保溫瓶中的物體和外界產生熱平衡的熱量交換現象。

想要達到恆溫的效果，就要盡量避免瓶中的物體與外界進行熱量的交換。熱的傳播途徑有三種，分別是對流、傳導及輻射，而將保溫瓶內外雙層抽真空，主要是要阻絕熱量藉由傳導的方式和外界進行交換。以下就是要說明，究竟我們是如何藉由抽真空來阻絕熱量藉由傳導作用而散失。

首先我們先架構一個模型，將保溫瓶真空層部分的空氣垂直的切割成一層一層，假設每一層的空氣分子具有的溫度相同，也就是同一層分子中的每個分子具有的動能相同，如下圖(一)。

圖一\(~~~\)將保溫瓶的真空層以簡單的模型分析。箭頭長短代表分層氣體分子中具有的能量大小，\(W\) 為夾層寬度，\(x\) 為由內部指向外部的橫向長度。（本文作者繪）

以箭頭長度表示該層空氣能量高低，假設 \(W\) 為夾層寬度；\(C\) 為夾層中氣體熱容量；\(T\) 為氣體溫度；\(x\) 為由內部指向外部的橫向長度；\(\rho\) 為氣體分子的分子數密度；\(l\) 為氣體在該溫壓下的平均自由徑（註一）；\(v\) 為氣體在 \(x\) 方向的速度；\(\rho\) 為分子碰撞截面積。

我們假設一層一層氣體之間的熱通量(單位面積單位時間內所通過的熱量)為 \(H\)，因為熱傳正比於溫度梯度，故可列出：

\(H=\displaystyle K\frac{\partial (T)}{\partial x}\) (式一)，\(K\)：熱傳導係數

我們也可以將熱通量以各變數表示，即：

\(H=(\displaystyle\frac{\partial(CT)}{\partial x}\times l)\rho(v\times \Delta t)A/(A\times \Delta t)\)

\((\frac{\partial(CT)}{\partial x}\times l)\) 為單一分子移動一個平均自由徑後所傳遞的熱能，\((\rho(v\times \Delta t)A)\) 為面積 \(A\) 乘上分子速度 \(v\) 走過時間 \(\Delta t\) 所形成的體積，乘上密度即為此體積所包含的所有分子數量，最後除以面積及時間是為了計算單位時間及單位面積的通量，消去可得：

\(H=(\frac{\partial(CT)}{\partial x}\times l)\times \rho \times v=(C\times l\times \rho \times v)\times \frac{\partial (T)}{\partial x}\) （式二）

由式一和式二比較可得：\(K=C\times l\times \rho\times v=C\times v/\rho\)（註二）

經由以上計算，我們很驚訝地發現：熱傳導係數 \(K\) 竟然與氣體的密度 \(\rho\) 無關！既然如此，那把夾層中的氣體抽真空似乎就沒有意義了！這是怎麼一回事呢？

這個謎團的解答在於：如果我們將夾層抽得「很真空」，那麼以上的估算方式便得修正，而修正後的答案是：熱傳導係數 \(K\) 在氣體很稀薄時其實是與氣體的密度 \(\rho\) 成正比，所以抽真空對於隔熱真的有好處！以下是更仔細的說明。

當夾層的寬度 \(W\) 小於氣體的平均自由徑時，平均而言，氣體分子自內壁跑到外壁前不再有機會與別的氣體分子碰撞，所以它會直接將多餘的熱量丟給外壁，所以計算熱通量的公式就要改寫，變成：

\(H=(\frac{\partial(CT)}{\partial x}\times W)\rho(v\times \Delta t)A/(A\times \Delta t)=(C\times W\times \rho\times v)\times \frac{\partial (T)}{\partial x}\)（式三）

由式三與式一比較可得：\(K=C\times W\times\rho\times{v}\)

此時若其他變數固定，則 \(K\propto \rho\)！！

這個改變主要的關鍵就是要讓夾層的寬度小於分子的平均自由徑，只要寬度小於平均自由徑，熱傳導係數就會隨著密度的減小而降低，而平均自由徑和氣體壓力成反比，隨著將氣壓降低、平均自由半徑上升到一個臨界點，也就是開始大於夾層寬度時，熱傳導係數就會開始隨壓力下降而下降。可見圖二。

圖二\(~~~\)熱傳導係數與夾層中氣體密度的關係。（本文作者繪）

故我們要盡量將夾層中抽真空，以有效減少夾層中氣體的導熱係數。

註一：氣體的平均自由徑 (Mean free path)指的是氣體分子在兩次碰撞之間所經過的路程統計平均值。假設 \(v\) 為氣體平均速度；\(\rho\) 為氣體分子的分子數密度；\(\sigma\) 為分子碰撞截面。假設為同種氣體分子時，其平均自由半徑 \(l=\frac{1}{\sqrt{2}\rho\sigma}\)，應用理想氣體方程式，可推得 \(l=\frac{K_BT}{\sigma p}\)，其中 \(p\) 為氣體壓力，\(K_B\) 為波茲曼常數。

例如，在 \(20^\circ C\) 下、標準大氣壓（\(101~KPa\)）下，氮氣分子的平均自由徑約為 \(60\) 奈米。

註二：\((l\times \rho = 1/\sigma)\rightarrow\)分子碰撞截面與平均自由徑形成的空間內包含一個分子。

參考文獻

維基百科，平均自由徑http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A8%8B