算幾不等式的應用(3)

算幾不等式的應用(3)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億

連結： 算幾不等式的應用(2)

算幾不等式除了常見於前文所提及的兩種型式之外，還可用於變數變換法中決定新變數的範圍。

例如「已知 \(x>0\)，求 \(\displaystyle{f(x)}=-{(x+\frac{1}{x})^2}+2(x+\frac{1}{x}) + 3\) 之最大值。」

此題只要令 \(t = x + \frac{1}{x}\)，則可將原題目改寫成 \(t\) 的一元二次多項式，然後配方可得

\(-{t^2}+2t+3=-{(t – 1)^2}+4\)，\(4\) 是發生在 \(t=1\) 的時候，但這是不可能的！

因為由算幾不等式可知 \(\displaystyle{t}= x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{1}{x}}= 2\)，

所以當 \(t=2\)，即 \(x =\displaystyle\frac{1}{x}\Leftrightarrow x = 1\) 時，最大值為 \(3\)。

以上所介紹的，就是高中數學中算幾不等式的主要應用，大抵上都是用於求最大值、最小值或範圍。倘若我們目光放遠一點，不侷限於高中教材，那麼，算幾不等式還有其他的應用與推廣。張海潮教授在〈算幾不等式的虛應用〉一文中指出，雖然許多用算幾不等式來求最大值或最小值的題目，都可以用更高等的數學知識─微積分來解決，但仍有一個不可忽視的重要應用：

\(n\) 是正整數，證明不等式 \(\displaystyle{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} > {(1 + \frac{1}{n})^n}\) 成立。

【證明】：

利用算幾不等式得，

左式\(=\displaystyle \frac{{n(1 +\displaystyle\frac{1}{n}) + 1}}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{n + 1}}\)，右式\(= {\displaystyle\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{\displaystyle\frac{n}{{n + 1}}}}\)，

所以 \(\displaystyle{1} + \frac{1}{{n + 1}} \ge {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{\displaystyle\frac{n}{{n + 1}}}}\)，

兩邊同取 \(n+1\) 次方即得 \({(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} \ge {(1 + \frac{1}{n})^n}\)。

等號成立的充要條件是 \(\displaystyle{1} + \frac{1}{{n + 1}} = 1\)，這顯然不可能成立，

故得證 \(\displaystyle{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} > {(1 + \frac{1}{n})^n}\)

對於不等式 \(\displaystyle{(1 + \frac{1}{{n + 1}})^{n + 1}} > {(1 + \frac{1}{n})^n}\)，我們可以從複利的角度來看它：將本金當作 \(1\) 單位、年利率當作 \(100\%\)，如果把一年分成 \(n\) 期，則每一期的利率就是 \(\displaystyle\frac{1}{n}\)，那麼依複利公式計算（可參閱本網站國立北門農工李建宗老師〈複利〉一文），則一年後的本利和就是 \(\displaystyle(1+\frac{1}{n})^n\)；同理，若把一年分成 \(n+1\) 期，則每一期的利率就是 \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\)，一年後的本利和就是 \(\displaystyle(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\)。上述的不等式就告訴我們複利的次數越多，那一年後就越有錢！

複利越多次就越有錢！多美好的一句話！如果在年初存 \(1000\) 元進銀行，那麼只要複利夠多次，一年後不就比郭台銘還富有了？這麼奢望就太異想天開了！無論複利多少次，一年後的本利和絕不會超過 \(3000\) 元（年利率 \(100\%\) 的情況下），最多大概就是 \(2718\) 元！為什麼呢？這就要談到數學中另一個重要的常數：自然常數 \(e\approx 2.71828…\)，有興趣的讀者可參閱本網站中由台北市立和平高中黃俊瑋老師所寫的文章〈另一個重要的無理數：\(e\)〉，以下僅提供函數 \(f(x) =\displaystyle{(1 + \frac{1}{x})^x}\) 的圖形（參閱圖一），讓讀者「親眼見識」它會越來越靠近直線 \(y=e(\approx 2.71828)\)，而不會讓我們變成超級大富豪！

圖二 （本文作者林倉億繪）

最後，我們還可以將算幾不等式擴充至「平均數不等式」（或稱為平均值不等式、平均不等式）

：\(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 均為正實數，

其「調和平均數」為 \({H_{n}} =\displaystyle\frac{n}{\displaystyle{\frac{1}{{{a_{1}}}} + \frac{1}{{{a_{2}}}}+\cdots+ \frac{1}{{{a_{n}}}}}}\)，

「幾何平均數」為 \({G_{n}} = \sqrt[n]{{{a_{1}}{a_{2}}\cdots{a_{n}}}}\)，

「算術平均數」為 \({A_{n}} =\displaystyle\frac{{{a_{1}} + {a_{2}} +\cdots+ {a_{n}}}}{n}\)，

「平方平均數」\({Q_{\,n}} =\displaystyle \sqrt {\frac{{{a_{1}}^2+{a_{2}}^2+\cdots+ {a_{n}}^2}}{n}}\)，

則這四個平均數的大小關係為 \({H_{n}} \le {G_{n}} \le {A_{n}} \le {Q_{n}}\)，

三個等號成立的充要條件都是 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\)。

此處僅列出「平均數不等式」，至於其證明，再另外為文證明之。

參考文獻

1. 游森棚主編 (2015)。《普通高級中學數學1（乙版）》，台南市：翰林出版社。
2. 張海潮 (2014)。〈算幾不等式的虛應用〉，《數學頻道》第9期，台北市：三民書局。（網址：http://www.sanmin.com.tw/learning/science/highschool/math/%E6%95%B8%E5%AD%B8%E9%A0%BB%E9%81%93NO.9%20(2014.04).pdf）
3. 陳昭地 (1983). 〈「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感〉，《數學傳播》第7卷第3期，台北市：中央研究院數學研究所。（網址：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d73/7330.pdf）
4. 潘政輝 (1983). 〈從一個聯考試題說起〉，《數學傳播》第7卷第3期，台北市：中央研究院數學研究所。（網址：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d73/7324.pdf）