算幾不等式的應用(2)

算幾不等式的應用(2)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億

連結： 算幾不等式的應用(1)

算幾不等式第二種應用類型依然與求最大或最小值有關，只是不再依附於幾何圖形，而是抽象的代數關係。例如翰林版課本《普通高級中學數學1》中的隨堂練習就給了「兩正數 \(a\)、\(b\)，若 \(a+b=18\)，試求 \(ab\) 的最大值。」一旦應用的範疇脫離了幾何意義之後，那就可以在抽象的關係上做出許多的變化，解題時就需要用到其他的關係或工具，因而困難度也就大幅提高。這類變化的題目，因為解法十分多樣，所以就成了各種數學競賽中常見的題目。以下僅舉出幾例說明。

99學年度台灣省第一區數學科能力競賽筆試（一）中，

「已知實數 \(a\) 與 \(b\) 滿足 \(a\ge 0\)、\(b\ge 0\)、\(a+b=1\)，求 \(\frac{b}{1+a}+\frac{a}{1+b}\) 的最大值與最小值。」

此題乍看之下與算幾不等式沒有關聯，但將所求通分、化簡後，算幾不等式就可以粉墨登場了。

\(\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{b}{{1 + a}} + \frac{a}{{1 + b}} &=\displaystyle \frac{{b + {b^2} + a + {a^2}}}{{1 + a + b + ab}} = \frac{{1 + {a^2} + {b^2}}}{{2 + ab}} \\&=\displaystyle\frac{{2 – 2ab}}{{2 + ab}}\left(\because{{a^2} + {b^2} = {{(a + b)}^2} – 2ab} \right)\\&=\displaystyle \frac{{ – 2(2 + ab) + 6}}{{2 + ab}} =- 2 + \frac{6}{{2 + ab}}\end{array}\)

，由算幾不等式可知 \(\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}\)，故 \(\displaystyle ab\le\frac{1}{4}\)，

等號成立的充要條件是 \(\displaystyle a=b=\frac{1}{2}\)；又 \(a\ge 0\)、\(b\ge 0\)，故 \(ab\ge 0\)。

因此，所求的最大值為 \(\displaystyle -2 + \frac{6}{{2 + 0}} = 1\)，此時 \(a=0\)、\(b=1\) 或 \(a=1\)、\(b=0\)；

所求的最小值為 \(\displaystyle -2+\frac{6}{{2+\frac{1}{4}}}=-2+\frac{{24}}{9}=\frac{2}{3}\)，此時 \(\displaystyle a=b=\frac{1}{2}\)。

上面這個題目，答案其實好猜，就將 \(a\)、\(b\) 極端值 \(a=0\)、\(b=1\) 或 \(a=1\)、\(b=0\) 代入，以及 \(a\)、\(b\) 相等的值代入，就可以得到最大值與最小值，因此並不適合作為塡充題。不過，100學年度台灣省第四區數學科能力競賽筆試（二）中的

「若 \(a>b\) 且 \(ab=1\)，則在 \((a,b)=\)________時，\(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a-b}\) 有最小值。」

這就讓解題者無從猜起了。如同上一題，必須先將所求轉換成其他形式，

而乘法公式 \(a^2+b^2=(a-b)^2+2ab\) 正好可以派上用場，

因此所求 \(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\)，

至此，算幾不等式的使用就是水到渠成了，

\(\displaystyle(a-b)+\frac{2}{{a-b}}\ge 2\sqrt {(a-b)\cdot \frac{2}{{a-b}}}=2\sqrt 2\)

最小值 \(2\sqrt{2}\) 發生在 \(a -b =\displaystyle\frac{2}{{a – b}}\Leftrightarrow a-b=\sqrt 2\)，又 \(ab=1\)，

可解出 \(a =\displaystyle\frac{{\sqrt 6+\sqrt 2 }}{2}\)、\(b =\displaystyle\frac{{\sqrt 6-\sqrt 2 }}{2}\)。

上述兩題都不是直接套用算幾不等式的題目，需先利用給定的條件，加上其他的數學工具，將所求轉換成可以使用算幾不等式的形式。至於如何轉換所求，巧妙各有不同，正是這類題目最難以捉摸的部分。有興趣的讀者，不妨找本數學競賽的書，挑戰書中的難題、欣賞巧妙的解法。

讓我們回到算幾不等式本身。依筆者的經驗，許多學生在練習了利用算幾不等式求最大、最小值的題目後，常常會產生錯誤的認知，以為最大值或最小值就是發生在等號成立的時候，因此，往往就會錯誤地使用算幾不等式而得到正確的答案。

例如本文中「已知實數 \(a\) 與 \(b\) 滿足 \(a\ge 0\)、\(b\ge 0\)、\(a+b=1\)，求 \(\displaystyle \frac{b}{1+a}+\frac{a}{1+b}\) 的最大值與最小值。」一題，常見的錯誤解法是：

\(\displaystyle\frac{b}{{1+a}}+\frac{a}{{1+b}}\ge 2\sqrt{\frac{b}{{1+a}}\cdot\frac{a}{{1+b}}}\)，

等號成立時的充要條件是 \(\displaystyle\frac{b}{{1 + a}}=\frac{a}{{1 + b}}\)，即 \(\displaystyle a=b=\frac{1}{2}\)，

所以 \(\displaystyle\frac{b}{{1 + a}} + \frac{a}{{1 + b}} \ge 2 \cdot \sqrt {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{1}{2}}}{{1 +\displaystyle \frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\displaystyle\frac{1}{2}}}{{1 +\displaystyle\frac{1}{2}}}}=\displaystyle\frac{2}{3}\)，故得最小值為 \(\displaystyle\frac{2}{3}\) 。

要讓學生知道這解法是錯的，最好的方法之一，就是先造成學生的認知衝突。例如給一題不存在最小值的題目：「若 \(a\)、\(b\) 均為正數，求 \(a+b\) 的最小值。」因為 \(a+b\) 恆大於 \(0\)，不可能為 \(0\)，故最小值不存在。理由就如同〈算幾不等式的應用(1)〉中的「\(x<2\) 在的條件下，\(x\) 並沒有最大值」，請讀者參閱。

不過，透過算幾不等式我們知道 \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)，等號成立時的充要條件是 \(a=b\)，也就是說，在 \(a=b\) 的條件下，\(a=b\) 的值永遠是 \(2a\)，但永遠沒有最小值。

再舉個例子，72學年度大學聯考社會組數學的考題：

「設 \(0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\)，求 \(\displaystyle\frac{2}{\sin\theta}+\frac{3}{\cos\theta}\) 的最小值。」

此題最小值是存在的，為 \((\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9})^{\frac{3}{2}}\)，但錯誤使用算幾不等式，則會得到不正確的答案。

錯誤解法如下：

由算幾不等式知 \(\displaystyle\frac{2}{{\sin \theta }} + \frac{3}{{\cos \theta }} \ge 2\sqrt {\frac{2}{{\sin \theta }} \cdot \frac{3}{{\cos \theta }}}\)，

等號成立的充要條件為 \(\displaystyle\frac{2}{{\sin \theta }}=\frac{3}{{\cos\theta }}\Leftrightarrow\tan\theta=\frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}=\frac{2}{3}\)，

已知 \(0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\)，故 \(\displaystyle\sin\theta=\frac{2}{{\sqrt {13} }}\)，\(\displaystyle\cos\theta=\frac{3}{{\sqrt {13} }}\)，

代回所求得 \(\displaystyle\frac{2}{{\sin \theta }}+\frac{3}{{\cos \theta }}=\sqrt {13}+\sqrt {13}=2\sqrt {13}\)。

上述兩個錯誤解法的共通之處，就是誤以為算幾不等式等號成立的時候，就是最大值或最小值發生的時候。打個比方好了，算幾不等式的兩邊，就好像是百貨公司中相鄰的兩部電梯（昇降梯），等號成立的時候就是這兩部電梯停在同一樓層，但這樓層可以是美食街、女裝部、男裝部、停車場、遊樂場任一樓層，不一定是最頂層或是最底層（參閱圖一）。

也就是說，算幾不等式等號成立的時候，並不必然有著最大值或最小值。一般說來，在使用算幾不等式求最大值或最小值時，我們會想辦法讓不等式的某一邊為定值，另一邊則為所求（本文一開始所舉之例子，或〈算幾不等式的應用(1)〉中的例子），那麼當等號可以成立的時候，該定值就會是最大值或最小值了。

圖一（本文作者林倉億攝於高雄市大立精品百貨公司）

前文所舉的72學年度大學聯考題，解法難度非常高，在當年還引發不少討論。《數學傳播》第7卷第3期（民國72年）中，當時任教於台北市立第一女子高級中學的潘政輝老師，其〈從一個聯考試題說起〉一文提供了不需要使用微積分的解法；陳昭地教授的〈「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感〉，則對此題作出了中肯的評論。有興趣的讀者，不妨前往《數學傳播》的網站閱讀上述兩篇文章。由於此題的正確解法超出了算幾不等式的範疇，筆者就不再此文中說明了。不過，對於喜歡猜時有最大值或最小值的學生，本文所舉之例子：「若 \(a>b\) 且 \(ab=1\)，則在 \((a,b)=\)________時，\(\displaystyle\frac{a^2+b^2}{a-b}\) 有最小值。」倒不失為一帖良方。

連結：算幾不等式的應用(3)

參考文獻

1. 游森棚主編 (2015)。《普通高級中學數學1（乙版）》。台南市，翰林出版社。
2. 張海潮 (2014)。〈算幾不等式的虛應用〉。《數學頻道》第9期。台北市，三民書局。（網址：http://www.sanmin.com.tw/learning/science/highschool/math/%E6%95%B8%E5%AD%B8%E9%A0%BB%E9%81%93NO.9%20(2014.04).pdf）
3. 陳昭地 (1983)。〈「七十二學年度大學聯考數學試題」雜感〉，《數學傳播》第 7 卷第 3 期。台北市，中央研究院數學研究所。（網址：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d73/7330.pdf）
4. 潘政輝 (1983)。〈從一個聯考試題說起〉。《數學傳播》第 7 卷第 3 期。台北市，中央研究院數學研究所。（網址：http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d73/7324.pdf）