頻譜

頻譜 (frequency Spectrum)
國立臺灣大學電信所電波組 林庭毅

時頻轉換，聽到如此陌生的名詞，相信大家的腦裡開始產生了各式各樣的幻想，又期待著什麼驚人的公式即將出現，但算式對於高中的程度而言太超過，所以我們就不提，我們要從很簡單的方法去欣賞這個好用的分析手法。

剛剛我騙了你們，其實你們也不是那麼不熟悉時頻轉換，甚至在任何你們遇得到的高等數學中，時頻轉換或許是你們最早就會在國小時期接觸到的，讓我們用一張圖來喚起大家的記憶吧。

圖一、音符示意圖（圖形來源： http://tadae.net/images/001/music_17_8_note_2.jpg）

其實在樂譜中的那些豆芽菜就是代表一個音調（在電磁波中，我們就姑且把他比喻成訊號好了）在頻率域上的長相，現在不用我多說，你們也知道為什麼頻譜這個詞中有個譜字了吧，我們現在就來解釋什麼是頻域。

你一定有個經驗，不管是在拉小提琴或是彈扯橡皮筋時，總會有種歪腰腰的餘音繞樑感吧？而在你回憶起這段往事時，心中是不是也想到了一個隨著時間高低起伏的圖形呢？我猜猜，應該是長得像這樣吧？

圖二、正弦波示意圖（本文作者繪製）

此時或多或少你都要開始有個感覺，在時間上發生的規律現象，有什麼唯一的性質呢？答案就是週期，而頻率又是週期的倒數，於是乎你現在漸漸掌握到頻譜的轉換不是空穴來風，是挺有道理的。

圖三、Fourier transform示意圖（圖片來源：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Fourier_series_and_transform.gif）

我想大家多少有做過一些數學題目，其中有一種題目是說，今天他給你一個二次曲線上三個點，要你還原出那個方程式對吧？這其實是牛頓的把戲，他認為一個可以收斂（就是值會慢慢固定）的函數，一定可以寫成某種多項式的無窮級數，然而傅立葉先生把這個境界再往上推廣，告訴我們所有可以收斂的函數，你都能用一堆 sin ,cos 函數把他給寫出來，這對你而言可能有點難想像，所以我們要先放上一張圖(圖三)，圖中我們看到，一個個不同週期的正弦波慢慢疊加，竟然從原本歪歪扭扭的形狀越來越接近一個原本不可能達到的方型，於是乎我們對於時頻轉換的可靠性又更有信心了，因為任意的形狀如果都能用這種方式組合出來，那麼以後我們只需要專注在到底有多少不同振幅，不同週期的正弦波組合出一個訊號就夠了，這就是時頻轉換的精神所在，把在時間上發生的複雜現象換到頻率域上去探討那一根一根的訊號成分不是容易的多嗎？

總而言之，圖三所告訴我們的內容就是：

首先他告訴你這是一個由六個正弦波疊加起來的方波近似，之後他將每個成分的大小以及頻率投影在頻率軸上讓你看，其實並不是那麼複雜，對吧？

最後講個小故事，這個類似的概念並不是傅立葉首創的，而是尤拉，尤拉雖不像牛頓等人在數學上開創一個嶄新的學門，但他總能很巧妙把不同的領域結合在一起，據說當時有個數學家想要考考他，便問他能不能推導出小提琴琴弦的發聲方程式，結果尤拉不出幾天就回信給那個人，使用的就是時頻轉換的手法，把小提琴的和聲拆成不同的成份，在當時還沒有人知曉這樣轉換的手法，但尤拉精采的做到了。

參考文獻

1. 如果看了此文你還是不懂傅立葉變換，那就過來掐死我吧！｜知乎。
   https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
2. 林和(2011)。流體力學講義。