氫原子光譜系

氫原子光譜系 (Hydrogen Spectral Series)
國立臺灣大學物理學系 簡嘉泓

歷史

19 世紀中期，由於光譜學的發展及測量技術的演進，人們發現熱的稀薄氣體隨著種類的不同，會產生不同波長的發射譜線，而元素態的氫原子光譜也是在這個時間點被發現。

1885 年，瑞士數學教師約翰・雅各布・巴耳末 (J. J. Balmer) 運用了瑞典科學家安德斯・埃格斯特朗 (A. J. Ångström) 對氫原子光譜的精確測量結果，針對四條可見光波段的氫原子光譜（即 $$H_\alpha$$、$$H_\beta$$、$$H_\gamma$$、$$H_\delta$$），推導出奠基於實驗數據的巴耳末公式，描述波長 $$\lambda$$ 的共同規則，隨後更計算 10 條紫外光波段的譜線，亦得到與實驗幾乎相同的結果，人們為紀念其貢獻，將該系列光譜稱為巴耳末系 (Balmer series)。

$$\displaystyle\lambda=B\frac{n^2}{n^2-4}$$

$$n=3,4,5,\cdots,B=3.65\times 10^{-7}(m)$$

圖一、上圖為巴耳末系的前四條譜線，皆位於可見光範圍，以巴耳末公式求得的值，並依照該波長對應的色彩上色。

1888 年，雷德堡 (Johannes Rydberg) 將巴耳末公式一般化，並預測了其他線系的存在，也使此公式適用於所有的氫光譜線系，並運用倒數關係將公式簡化為：

$$\displaystyle\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n’^2}\right)$$

$$(n’>n$$，$$n,n’\in\mathbb{N}$$，$$R$$ 為雷德堡常數，$$R=1.09\times 10^{-7})$$

（巴耳末系為 $$n=2$$ 的特例）

其後，波耳(Neils Bohr) 於 1913 年對此光譜提出了解釋，不同的線系也陸續被發現。

原理

波耳模型指出，原子中的電子僅能存在於特定的能量狀態中，這些特定的能量狀態，稱為原子能階，不同能階中的電子透過輻射光或吸收光移動至不同能階，這些能階間的躍遷所輻射出的特定頻率的光，有能量差 $$E = h\nu$$（$$h$$ 為普朗克常數，$$\nu$$ 為光的頻率）之關係，由於雷德堡公式中，對於每一個 $$n$$ 都有 $$n’ = n+1,n+2,n+3,\cdots$$，每種 $$n$$ 和 $$n’$$ 的組合都代表一條譜線。

圖二、波耳模型、電子躍遷及各線系線（如圖所示），此即為氫原子光譜的由來。

線系

在雷德堡公式中，每個 $$n$$ 值都有一對應的線系（如 $$n = 1$$ 對應到來曼系，$$n = 2$$ 對應到巴耳末系），線系中頻率最低者 $$(n’=n+1)$$ 為該線系中的 $$\alpha$$ 線，次低者為 $$\beta$$ 線，依此類推……，而每一線系隨著 $$n’$$ 變大，譜線間距會越來越小，直到趨近於 $$\lambda=\frac{R}{n^2}$$，稱為該系的線系限。

來曼系 (Lyman series)：從 $$n’= 2,3,4,\cdots$$ 的能階躍遷至 $$n=1$$ 的線系，位於紫外光波段，是在 1906 年由美國的來曼發現的，最低頻率 Lyman-α $$(n’=2)$$ 為 121.57 nm，線系限為 91 nm。

巴耳末系：從 $$n’=3,4,5,\cdots$$ 的能階躍遷至 $$n = 2$$ 的線系，也是唯一位於可見光波段中的線系，也因此首先被發現，在多波段天文學蓬勃發展之前扮演重要的角色，人們可以藉由星體所發出的巴耳末系譜線，測量其表面溫度、磁場以及該處環境的溫度與氫原子的密度等資訊，也為最早的太陽光譜分析提供了重要的數據。

帕申系 (Paschen series)：從 $$n’=4,5,\cdots$$ 的能階躍遷至 $$n=3$$ 的線系，由德國物理學家帕申 (Friedrich Paschen) 於 1908 年發現，與之後的線系（布拉格系）有重疊，帕申系及之後的線系皆位於紅外線波段，帕申系之後尚有 $$n=4$$ 的布拉格系 (Brackett series)、$$n=5$$ 的蒲芬德系 (Pfund series)、$$n=6$$ 的韓福瑞系 (Humphreys series) 等。

21 公分線與超精細結構：在量子物理中，將氫原子核自旋與電子自旋所產生的交互作用納入考量，可推得在原子內部的電磁場下，不同方向的電子自旋會使原子有不同的能階，若處於基態的氫原子 (1s) 的兩能階間發生躍遷，就會放出波長 21 公分左右的譜線，屬於微波範圍，這個譜線在無線電天文學中被廣泛應用，因為此波長能穿越星際物質而幾乎不被干擾，使人們透過該波段觀測更加遠處的目標。

參考文獻

1. A Brief (Incomplete) History of Light and Spectra – ChemTeam. http://www.chemteam.info/Electrons/Spectrum-History.html
2. Bohr model – Wikipedia.https://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_model
3. hydrogen spectral series – Wikipedia.https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_spectral_series
4. Rydberg formula – Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Rydberg_formula
5. Anders Jonas Ångström – Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Anders_Jonas_%C3%85ngstr%C3%B6m