實係數多項式方程式虛根成對定理

實係數多項式方程式虛根成對定理 (Pair of imaginary roots in a polynomial equation with real coefficients)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師\國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

當多項式 $$f(x)$$ 的係數都是實數的時候，就稱之為「實係數多項式」。任給一個 $$n$$ 次實係數多項式 $$f(x)=a_n{x^n}+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$，若我們分別將 $$x$$ 用一個複數及它的共軛複數代入，那會有什麼結果？

例如：若 $$f(x)=3x^2+2x+1$$，分別用 $$x=1+i$$ 與 $$x=1-i$$ 代入，得到 $$\begin{cases}f(1+i)=3(1+i)^2+2(1+i)+1=3+8i\\f(1-i)=3(1-i)^2+2(1-i)+1=3-8i\end{cases}$$，發現 $$f(1+i)$$ 與 $$f(1-i)$$ 兩者是共軛複數。這並不是特例，而是一般的實係數多項式都會有的性質，下面我們用數學符號將這個性質寫出來：

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式，

$$z$$是複數，則 $$f(\overline{z})=\overline{f(z)}$$。

證明：

$$\begin{array}{ll}f(\overline{z})&=a_n(\overline{z})^n+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+\mbox{……}+a_1\overline{z}+a_0\\&=a_n\overline{z^n}+a_{n-1}\overline{z^{n-1}}+\mbox{……}+a_1\overline{z}+a_0\\&=\overline{a_n\cdot{z}^n}+\overline{a_{n-1}\cdot{z}^{n-1}}+\mbox{……}+\overline{a_1\cdot{z}}+\overline{a_0}\\&=\overline{a_n\cdot{z}^n+a_{n-1}\cdot{z}^{n-1}+\mbox{……}+a_1\cdot{z}+a_0}\\&=\overline{f(z)}\end{array}$$

利用這個性質可以知道，如果 $$f(z)=0$$，那 $$f(\overline{z})$$ 也會是 $$0$$。換句話說，如果 $$x=z$$ 是 $$f(x)=0$$ 的一個根，那 $$x=\overline{z}$$ 也會是根。這就是「實係數多項式方程式虛根成對定理」：

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}++a_1{x}+a_0=0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式方程式，
$$\alpha$$ 與 $$\beta$$ 是實數，若 $$x=\alpha+\beta{i}$$ 是 $$f(x)=0$$ 的根，則 $$x=\alpha-\beta{i}$$ 也是 $$f(x)=0$$ 的根。

利用「實係數多項式方程式虛根成對定理」與「代數基本定理」，我們馬上可以得到「奇數次實係數多項式方程式至少有一個實根」。道理其實簡單，由「代數基本定理」可知奇數次實係數多項式方程式的根是奇數個（個數就是$$x$$的最高次方），再由「實係數多項式方程式虛根成對定理」，知道這奇數個根中的虛根一定兩兩成對，所以，最後至少會有一個落單，而落單的根必是實根。事實上，若將 $$k$$ 重根計 $$k$$ 成個根的話，那我們還可以知道奇數次實係數多項式方程式的實根必定是奇數個。例如，若$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$$是三次實係數方程式，那麼它的根不是三個都是實根，就是一個實根與兩個互為共軛複數的虛根。

除了可以進一步了解奇數次實係數多項式方程外，對於一般的實係數多項式方程式，我們還可以得到一個重要的推論：「任一個實係數多項式方程式一定可以因式分解成實係數一次因式或實係數二次因式的乘積。」理由如下：

假設 $$n$$ 次實係數多項式方程式 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{……}+a_1x+a_0$$ 的
實根為 $$\alpha_1, \alpha_2,\mbox{……}, \alpha_k$$，虛根為 $$\beta_1,\overline{\beta_1},\beta_2,\overline{\beta_2},\mbox{……},\beta_m,\overline{\beta_m}$$，
其中 $$k+2m=n$$，則 $$f(x)$$ 可因式分解成

$$\begin{array}{ll}f(x)&=a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)(x-\beta_1)(x-\overline{\beta_1})(x-\beta_2)(x-\overline{\beta_2})\mbox{…}(x-\beta_m)(x-\overline{\beta_m})\\&=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\mbox{…}(x-\alpha_k)[x^2-(\beta_1+\overline{\beta_1})x+\beta_1\cdot\overline{\beta_1}]\mbox{…}[x^2-(\beta_m+\overline{\beta_m})x+\beta_m\cdot\overline{\beta_m}]\end{array}$$

其中 $$x-\alpha_1$$，$$x-\alpha_2$$，$$\mbox{……}$$，$$x-\alpha_k$$均為實係數一次式，$$x^2-(\beta_1+\overline{\beta_1})x+\beta_1\cdot\overline{\beta_1}$$，$$x^2-(\beta_2+\overline{\beta_2})x+\beta_2\cdot\overline{\beta_2}$$，$$\mbox{……}$$，$$x^2-(\beta_m+\overline{\beta_m})x+\beta_m\cdot\overline{\beta_m}$$均為實係數二次式。