非歐幾何（Non-Euclidean geometry）

非歐幾何（Non-Euclidean geometry）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

本文簡要說明非歐幾何的歷史發展，及其與《幾何原本》第五設準之關連。 

歐幾里得對平面幾何的系統化處理實在相當完備，以致於經過兩千年以上的時間，吾人才得以揭開一層蓋在歐氏幾何中心地帶的神秘面紗。而此一揭示，就導出了非歐幾何學，繼而對於所謂的「真實幾何」帶來了革命性的衝擊，永遠改變我們的數學真理信仰。

整個故事要從歐幾里得的第五設準說起：「一條直線與另外兩條直線相交，若某一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後在這一側相交。」

這條設準與平行線有關，不過，它沒有明確地說平行線是存在的；它只是指出一對「不」平行的直線所擁有的性質。在許多平行線性質的證明中，這條設準扮演了關鍵性的角色，所以它常被稱為「平行設準」。

《幾何原本》第I冊定義23說：「平行線是在同一平面上，經過不斷延長後，在任一方向不相交的（直）線。」但是，歐幾里得要等了很久才去處理平行線的存在性。事實上，歐幾里得甚至在證明前 28 個命題時，都沒有用到第五設準。他是想要找出方法證明這條設準使之成為定理？或者，他只是覺得這樣編排命題是最恰當的？沒有人知道。雖然如此，一旦歐幾里得開始運用這條設準，他就完全展現了第五設準的威力。

《幾何原本》第I冊的其餘 20 個命題建立了關於平行線、平行四邊形以及正方形的基本性質，還包含一個眾所周知的事實：兩平行線之間的距離處處相等。他也使用第五設準，來證明一些表面上與平行線無關的幾何概念，包括畢氏定理，以及三角形內角和為 $$180^\circ$$（兩直角）。

從某方面來說，平行設準比較像是定理而非設準，因為它不像其他四條設準那麼簡潔、那麼不證自明（self-evident），但是無疑地，在希臘人的幾何系統中，它必須是正確的。歐幾里得是證明定理與組織概念的大師。然則為什麼他無法證明這個敘述？兩千多年來，大部分的數學家認為這是因為他還不夠厲害。他們深信平行設準其實應該是個定理，而且很多人也真地提出證明。例如，五世紀希臘哲學家普洛克羅斯（Proclus）、第八、九世紀的阿拉伯學者都曾嘗試證明平行設準。但是，每一個被提出的證明都是有瑕疵的。針對這個看似定理的可怕設準，數學家一直要到十九世紀，才對它有正確的理解。

在許多證明平行設準的嘗試之後，有一些數學家提議將第五設準改寫成為其他在邏輯上等價、但較清楚或較易使用的敘述。其中最有名的，是被稱為普羅菲爾設準（Playfair’s Postulate）的敘述：過直線外一點，恰有一直線與給定的直線平行。這個敘述的名稱來自蘇格蘭的普羅菲爾（John Playfair）。由於它與第五設準等價，因此，目前許多幾何書籍將之視為平行設準，以代替歐幾里得原來的敘述。

十八世紀初，一位義大利薩開里（Girolamo Saccheri）對平行設準嘗試了一個很高明的處理方式。由於普羅菲爾設準的否定命題有兩部分。過直線外一點，下面兩種情況可能成立：1. 不存在一直線與給定直線平行；2. 存在多於一條的直線與給定直線平行。所以，薩開里必須證明上面兩種情形都會導致矛盾。第一種情形很好解決。在不使用平行設準的情況之下，歐幾里得已經證明平行線必定存在。第二種情形比較不好處理。薩開里證明了不少有趣的結果，但似乎都不能找到矛盾。最後，他扭曲了某個很弱的結果，使之看來像是個很模糊的矛盾，不過，這個動作似乎沒有說服任何人。他的成果在1733年出版，書名為Euclides Vindicatus（被證明清白的歐幾里得），可惜，這本書在出版後迅速被遺忘了將近一百年。

在十九世紀，有四個人接受了薩開里的方法，其中三人以下面的問題開始進行研究：「是否有一種幾何系統，在其中，過直線外一點，存在超過一條直線與給定直線平行？」高斯在約1810年時探究過這種可能性。然而，他並未發表任何結果。這種不同幾何的研究成果，是俄羅斯數學家羅巴秋夫斯基（Nicolai Lobachevsky）在1829年率先發表。大約同時，匈牙利的年輕軍官波里耶（János Bόlyai）也在探索同一種想法，並在1832年出版。他們三位都得到驚人的結論：如果平行設準被它的第二種否定所取代，所得出的幾何系統不會有矛盾。這點一舉解決了兩千年來關於歐幾里得第五設準的問題：平行設準無法從歐氏幾何的其他四個設準證明出來！

跟隨薩開里腳步的第四位是黎曼（Riemann）。看到平行設準否定的第一部份，他心想：「是否有一種平面幾何的系統，在其中，過直線外一點，不存在任何直線與給定直線平行？」薩開里為這種情形找到了矛盾，但這樣的推論來自一個假設，就是：直線式的長度是無限的。黎曼觀察到，所謂「繼續延長」不一定保證「長度無限」。例如，我們可以隨己意任意繼續延長圓上的弧；它不會有終點，但其長度是有限的。這顯然違反歐幾里得自己使用設準二的方法，所以，如此的解讀產生了設準二的另一種版本。黎曼假設設準二這種較弱的版本，他後來成功地建構了一種數學模型，能滿足歐幾里得的前四條設準以及平行設準的第一種否定。黎曼在1854年發表他的新幾何系統。

總之，到十九世紀中葉為止，數學上有三種不同「品牌」的幾何，因它們對待平行線的方式而有所不同，而發展出來。羅巴秋夫斯基與黎曼的新系統被稱為非歐幾何，以強調它們在邏輯上與歐氏幾何的矛盾立場。三種幾何都自成相容（不矛盾）的系統，但它們基於平行性的不同假設，會導出截然不同的幾何性質。例如，只有在歐氏幾何中才存在兩個相似、但不全等的三角形。在非歐幾何中，若兩三角形對應角相等則必定全等。另一個奇特的不同之處，在於三角形內角和會因你所在的幾何系統而有不同：

在歐氏幾何中，三角形內角和恰為 $$180^\circ$$；
在羅巴秋夫斯基幾何中，三角形內角和小於 $$180^\circ$$；
在黎曼幾何中，三角形內角和大於 $$180^\circ$$。

面對三種互相衝突的幾何系統，我們很自然會把較老、較熟悉的歐氏幾何看成「真實的」幾何，而另外兩種只是人造的怪物。然而，每一種幾何系統都有各自的實際用途，因此，有關人類居住空間的真實幾何並不存在，非歐幾何為我們作了最佳見證！

參考書目：

1. 比爾‧柏林霍夫 / 佛南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。
2. 齊斯‧德福林 (2011).《數學的語言》，台北：商周出版社。
3. 瑞赫德‧庫蘭特、賀伯斯‧羅賓斯、伊恩‧史都華 (2010/2011).《數學是什麼？》（上）（下），新北市：左岸文化出版社。