克卜勒行星運動定律

克卜勒行星運動定律 (Kepler’s Laws of Planetary Motion)
臺中縣常春藤高級中學物理科李品慧老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

克卜勒行星運動定律為描述太陽系各行星運動的三個定律，是天文學與經典物理學的研究內容。這些定律由德國的數學、天文學家克卜勒(Johannes Kepler ,1571–1630)所發現，對任何二物體(恆星與行星、行星與衛星、雙星系統…)，如果它們間束縛力只有重力， 而且它們運動的軌道是橢圓或圓，則克卜勒三運動定律是必然的結果。

克卜勒利用第谷(Tycho Brahe, 1546-1601)遺留給他的大量有關行星運動的精確數據，發現了行星運動的規律。克卜勒的理論挑戰亞里斯多德與托勒密的天文物理學，他認為地球是在移動的，且他用橢圓取代過去的正圓軌道，並證明行星的運動速度並非定值。經過近一世紀，牛頓運用他所發明的微積分與萬有引力定律，從數學上直接證明了克卜勒的定律。

克卜勒的行星運動定律：

• 第一定律：所有的行星各在以太陽為焦點的橢圓形軌道上運行。
• 第二定律：行星與太陽的連線在相同的時間間隔內，掃過相同的面積。

我們可以用簡單的數學式來表達克卜勒第二定律。在某一時刻 \(t\)，行星和太陽之間的距離為 \(r\)，兩者的連線在很短的時間間隔 \(\Delta t\) 內，所掃過的面積，近似等於底邊為 \(r\Delta \theta\)，高為 \(r\) 的三角形面積 \(\Delta A=\frac{1}{2}r^2\Delta\theta\)。若所取的時間間隔趨近於零，則

\(\text{面積掃描速率}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta A}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{2}r^2\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{1}{2}r^2\omega\)

式中 \(\omega\) 為行星在P點時，繞太陽轉動的角速度。因此克卜勒第二定律可寫成下式：

\(r^2\omega=\text{常數}\)（此常數僅適用於此一行星，不同的行星有不同的常數值）

• 第三定律：行星公轉週期的平方，和其橢圓軌道半長軸的三次方成正比。

若以 \(T\) 代表行星公轉的週期，\(a\) 為橢圓軌道的半長軸，則克卜勒第三定律可寫為

\(\displaystyle \frac{T^2}{a^3}=\text{常數}\)（此常數僅適用於太陽系的所有行星）

參考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler’s_laws_of_planetary_motion