三角函數和與複數

三角函數和與複數（Complex Number and Sum of Trigonometric Functions）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

摘要：本文介紹一題舊教材常見的和差化積問題，將其與 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根連結，直接利用圖形的對稱性即可看出解答。

以下問題為99課綱前高一和差化積常見的練習題，筆者曾經非常不喜歡此題，直至學到了棣美弗定理及 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根後，有了新的看法，故本文上篇的重點不在於發展技巧。和差化積容易衍伸出需要技巧的難題，在99課綱已被刪掉，不過此題搭配 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根一起看還是很有趣，藉由本文提出與各位分享。

題目：試求 $$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}$$ 之值。

標準作法

原式 $$S =\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}$$，欲求其值，這是堪稱需要一點技巧的題目，相信許多人都依稀記得要乘以其角度公差一半的正弦值，也就是 $$\displaystyle\sin\frac{\pi}{7}$$，則：

$$\begin{array}{ll}\displaystyle S\times\sin\frac{\pi}{7}&=\displaystyle\left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\right)\times\sin\frac{\pi}{7}\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\left(\sin\frac{3\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7} \right )+\left(\sin\frac{5\pi}{7}-\sin\frac{3\pi}{7} \right )+\left(\sin\frac{7\pi}{7}-\sin\frac{5\pi}{7} \right ) \right]\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{7\pi}{7}\right)\\&=\displaystyle-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7}\end{array}$$

很明顯 $$\displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}\neq 0$$，於等號兩邊同除 $$\displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}$$，即可得 $$S=\displaystyle-\frac{1}{2}$$

厲害的民間機構便將其整理成一種題型，當我們看到三角函數級數，其角度成等差數列，且公差為 $$d$$ 時，如 $$S =\cos d+\cos 2d+\cdots+\cos (nd)$$，欲化簡其和，可將等式兩邊同乘 $$\sin\frac{d}{2}$$，則：

$$\begin{array}{ll}\displaystyle S\times\sin\frac{d}{2}&=\displaystyle[\cos d+\cos 2d+\cdots+\cos(nd)]\times\sin\frac{d}{2}\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\left(\sin\frac{3d}{2}-\sin\frac{d}{2} \right )+\left(\sin\frac{5d}{2}-\sin\frac{3d}{2} \right )+\cdots+\left(\sin\frac{(2n+1)d}{2}-\sin\frac{(2n-1)d}{2} \right ) \right]\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin\frac{(2n+1)d}{2}-\sin\frac{d}{2}\right]\end{array}$$

若 $$(2n+1)d=2\pi$$，可得

$$\displaystyle \sin\frac{(2n+1)d}{2}=\sin\frac{2\pi}{2}=\sin\pi=0$$

此時 $$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}$$，

$$\displaystyle S\times \sin\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\left[0-\sin\frac{d}{2}\right]$$

等式兩邊同除 $$\displaystyle\sin\frac{d}{2}$$，即可得 $$S=-\frac{1}{2}$$

例如：

$$n=1$$，$$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}=\frac{2\pi}{3}$$，$$S=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$$，這我們早就知道了！

$$n=2$$，$$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}=\frac{2\pi}{5}$$，$$S=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1}{2}$$

$$n=3$$，$$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}=\frac{2\pi}{7}$$，$$S=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}$$

$$n=4$$，$$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}=\frac{2\pi}{9}$$，$$S=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{6\pi}{9}+\cos\frac{8\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$

看圖說話

在複數平面上標出「$$1$$ 的七次方根」，其在單位圓上均勻分布且上下對稱，所求 $$S =\cos\frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}$$ 即紅色三點的實部和，以下簡記作Re(紅)，如圖中紅色粗線段。

[註] 為何「紅+綠+藍=0」，即為何此七根和為 $$0$$ 呢，以下給予兩種說明，

1. 此七根為 $$x^{7}-1=0 $$ 的解，由根與係數知此七根和等於此方程式 $$x^6$$ 的係數$$=0$$
2. 若令 $$\omega=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}$$，則此七根可被寫成 $$1,\omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4}, \omega^{5}, \omega^{6}$$
   原方程式 $$x^7-1=0$$ 可被分解成 $$(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0$$，
   則 $$\omega$$ 為 $$(x-1)=0$$ 或 $$(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0$$ 的解，
   顯然 $$\omega-1\ne 0$$，故 $$(\omega^6+\omega^5+\omega^4+\omega^3+\omega^2+\omega+1)=0$$，
   由此式可知七根和為 $$0$$

簡單延伸

若有以上的概念，便可以變種出很多類似的題目，例如：

1. $$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}=-1$$
2. $$\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{10\pi}{7}=-\frac{1}{2}$$
3. $$\sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{7}+\sin\frac{8\pi}{7}+\sin\frac{10\pi}{7}+\sin\frac{12\pi}{7}=0$$

連結：三角函數積與複數

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延伸閱讀：

1. Eli Maor，毛起來說三角，天下文化，2000年9月。
2. 木棉，睡夢中，學三角，天下文化，2006年1月。