三角函數積與複數

三角函數積與複數 (Complex Number and Product of Trigonometric Functions)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

連結：三角函數和與複數

摘要：不同於上篇利用圖形對稱性的作法，這裡將棣美弗定理（de Moivre’s formula）、二項式定理（Binomial theorem）作連結，發現其中的恆等式，進而幫助化簡正弦連乘。

題目：試求 ​\( \displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}\sin\frac{6\pi}{7} \)​ 之值。

嘗試化簡​\( \sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}\sin\frac{6\pi}{7} \)​會發現一直失敗，若仿造前篇文章「三角函數和與複數」的作法，將「1 的七次方根」在複數平面上標出，則所求 ​\( \sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{7}\sin\frac{6\pi}{7} \)​即為紅色三點的虛部積，如圖中紅色粗線段。

題目是要求積，不過即使是求和 ​\( \sin\frac{2\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}+\sin\frac{6\pi}{7} \)​，即為紅色三點的虛部和，以下簡記作 ​\( \mathrm{Im} \)​(紅)，我們也不能得到更多的訊息。

​\( \because 紅+綠+藍=0 \)​

​\( \therefore\mathrm{Im}(紅)+\mathrm{Im}(綠)+\mathrm{Im}(藍)=0 \)​

又​\( \mathrm{Im}(紅)=-\mathrm{Im}(綠)，\mathrm{Im}(藍)=0 \)​

代入恆等式 0=0

無法由此得知 ​\( \mathrm{Im}(紅) \)​的確切值。

但是由前篇文章「三角函數和與複數」得知此種有規律的三角函數化簡，往往與​\( x^{7}=1 \)​的根與係數有關，以下就把握此原則，繼續其它的嘗試。

棣美弗定理與二項式定理

在1 的n次方根裡，最重要的就是棣美弗定理了：

​

\[ (\cos\theta +i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta \]

​

注意到此定理左式為二項式，右式為一複數的極式，若將左邊以二項式定理展開，會有什麼發現呢？

​\( \circledcirc \)​當​\( n=2 \)​時，​\( (\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta \)​
​\( LHS=\cos^2\theta+2i\cos\theta\sin\theta+i^2\sin^2\theta \)​

比較等式兩邊的實部、虛部，可得二倍角公式：
​\( \cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta，\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta \)​

​\( \circledcirc \)​當 ​\( n=3 \)​時，​\( (\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta \)​
​\( \begin{array}{ll}LHS&=\cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta+3i^2\cos\theta\sin^2\theta+i^3\sin^3\theta\\&=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta)+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)\end{array} \)​

比較等式兩邊的實部、虛部，可得三倍角公式：
​\( \begin{array}{ll}\cos 3\theta&=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)\\&=4\cos^3\theta-3\cos\theta\end{array} \)​
​\( \begin{array}{ll}\sin 3\theta&=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta=3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta\\&=3\sin\theta-4\sin^3\theta\end{array} \)​

​\( \circledcirc \)​當​\( n=4 \)​ 時，​\( (\cos\theta+i\sin\theta)^4=\cos 4\theta+i\sin 4\theta \)​
​\( \begin{array}{ll}LHS&=\cos^4\theta+4i\cos^3\theta\sin\theta+6i^2\cos^2\theta\sin^2\theta+4i^3\cos\theta\sin^3\theta+i^4\sin^4\theta\\&=(\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta)+i(4\cos^3\theta\sin\theta-\cos\theta\sin^3\theta)\end{array} \)​

比較等式兩邊的實部，可得餘弦的四倍角公式：
​\( \begin{array}{ll}\cos 4\theta&=\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta\\&=(\cos^2\theta+\sin^2\theta)^2-8\cos^2\theta\sin^2\theta\\&=1-8\cos^2\theta+8\cos^4\theta\end{array} \)​

同樣的，比較等式兩邊的虛部可得正弦的四倍角公式，讀者不妨自行試試看。

利用棣美弗定理配合二項式定理展開，常能發現熟悉的恆等式，雖然棣美弗定理本來就是從和角公式得來，於其中發現許多恆等式是非常自然的，但實際操作一遍還是很令人讚嘆；那這樣的恆等式與原來的題目有什麼關係呢？

原題解法

原來的問題和1 的七次方根很有關，故我們嘗試 ​\( n=7 \)​ 時的棣美弗定理：

\( (\cos\theta+i\sin\theta)^7=\cos 7\theta+i\sin 7\theta \)​​\( \begin{multline*}LHS=C^7_0\cos^7\theta+iC^7_1\cos^6\theta\sin\theta+i^2C^7_2\cos^5\theta\sin^2\theta+i^3C^7_3\cos^4\theta\sin^3\theta+i^4C^7_4\cos^3\theta\sin^4\theta+i^5C^7_5\cos^2\theta\sin^5\theta+i^6C^7_6\cos\theta\sin^6\theta+i^7C^7_7\sin^7\theta\end{multline*} \)​

因為原題是正弦的連乘，故比較兩邊虛部，可得恆等式
​\( \begin{align*}\sin 7\theta &=C^7_1 \cos^6{\theta} \sin\theta -C^7_3 \cos^4{\theta} \sin^3\theta +C^7_5 \cos^2{\theta} \sin^5\theta -C^7_7 \sin^7\theta \\&= 7\cos^6\theta\sin\theta-35\cos^4\theta\sin^3\theta+21\cos^2\theta\sin^5\theta-\sin^7\theta\\&=7(1-\sin^2\theta)^3\sin\theta-35(1-\sin^2\theta)^2\sin^3\theta+21(1-\sin^2\theta)\sin^5\theta-\sin^7\theta\\&=-64\sin^7\theta+112\sin^5\theta-56\sin^3\theta+7\sin\theta \end{align*} \)​

令 ​\( f(\theta)= -64\sin^7\theta+112\sin^5\theta-56\sin^3\theta+7\sin\theta \)​
則 ​\( \displaystyle f(\frac{2\pi}{7})=f(\frac{4\pi}{7})=f(\frac{6\pi}{7})=f(\frac{8\pi}{7})=f(\frac{10\pi}{7})=f(\frac{12\pi}{7})=0 \)​

令 ​\( u=\sin\theta，則\sin\frac{2\pi}{7},\sin \frac{4\pi}{7},\sin \frac{6\pi}{7},\sin \frac{8\pi}{7},\sin \frac{10\pi}{7},\sin \frac{12\pi}{7} \)​
為 ​\( -64u^7+112u^5-56u^3+7u=0 \)​的其中六根，
即 ​\( -64u^6+112u^4-56u^2+7=0 \)​的六根

故由根與係數可得知此六根之積

​\( \sin\frac{2\pi}{7}\sin \frac{4\pi}{7}\sin \frac{6\pi}{7}\sin \frac{8\pi}{7}\sin \frac{10\pi}{7}\sin\frac{12\pi}{7} = -\frac{7}{64} \)​

​\( \sin\frac{2\pi}{7}\sin \frac{4\pi}{7}\sin \frac{6\pi}{7} (-\sin\frac{6\pi}{7})(-\sin\frac{4\pi}{7})(-\sin\frac{2\pi}{7})= -\frac{7}{64} \)​

得​\( \displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}\sin \frac{4\pi}{7}\sin \frac{6\pi}{7}=\frac{\sqrt{7}}{8} \)​

積化和差技巧不勝枚舉，題目太刁鑽常令人反感，不過若善用對稱性及與方根的關係，將較對稱的題目以別的角度切入，它也不失為一種綜合所學的複習！

延伸閱讀

1. Eli Maor，毛起來說三角，天下文化，2000年9月。