大數法則（2）極限的定義（Law of large numbers-2. The definition of limit）

大數法則（2）極限的定義（Law of large numbers-2. The definition of limit）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（1）數大便是美

摘要：在論及「大數法則」之前，必須先有「極限(limit)」的概念，這裡給出「極限」的定義，並說明其內涵。

懂點機率統計的人，常開口閉口大數法則。大數法則究竟是什麼？討論大數法則，無可避免的，會涉及極限。只是極限可不是一簡單的概念。但弄懂極限，是進入較高深數學的第一步。本節我們稍微介紹極限。

認給一數列 \(\{a_n,n\geq 1\}\)，當 \(n\rightarrow\infty\) 時，\(a_n\) 不見得會趨近至某一定值。例如，\(a_n=(-1)^n, n\geq 1\)，則此數列為 \(-1, 1, -1, 1, …\)，不論 \(n\) 多大，數列都是 \(1, -1\) 交錯著，不會接近任一定植。但若 \(a_n=(1/2)^n, n\geq 1\)，則隨著 \(n\) 之增大，\(a_n\) 愈來愈小，一直往 \(0\) 接近。

我們以  \(n\rightarrow\infty\)時，\(a_n\rightarrow 0\)  表之，也可寫成  \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)

極限是微積分的基礎，但極限並不是一簡單的概念。想要弄懂極限，當然要找本微積分課本，仔細唸一唸。黃文璋(1999)第九章『極限的概念』，為一討論極限之通俗性文章。

不過凡是牽涉到無限大，就要謹慎對待。男孩對女孩說『我每天(每一 \(n\) 天)都愛你』，這是否就隱含『海枯石爛，永不變心』呢？倒也未必。海枯石爛表示時間 \(n\) 趨近至 \(\infty\)，但 \(n\to\infty\) 時會如何，不能以每個 \(n\) 會如何來推測。舉一簡單的例子：令 \(a_n=1/n,~n\geq 1\)，則對每一 \(n\geq 1,a_n\) 皆為正數。但 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0\) 就非正數了。

中學時代，你應學過數學歸納法。令 \(A_n\) 表一與 \(n\) 有關的命題，\(n\geq 1\)。在有些情況下，可以數學歸納法證明每一命題 \(A_n\) 皆成立。其原理就是先證出 \(A_1\) 成立，然後再證明 \(A_n\) 成立可導致 \(A_{n+1}\) 成立，則每一命題 \(A_n\) 便皆成立了，\(n\geq 1\)。但這只證出每一命題 \(A_n\) 為真，並未導致 \(n\to\infty\) 時命題仍成立。

對於 \(n\to\infty\) 時，\(a_n\rightarrow a\)，是說當 \(n\) 不斷地增大，\(a_n\) 可任意接近 \(a\)。

但，任意接近\(a\)是什麼意思？
此表 \(a_n\) 與 \(a\) 之差距 \(|a_n-a|\) 可任意小。

而怎樣是任意小？由你來定好了。
\(0.01\) 算小嗎？還是 \(0.0001\) 才算小？就任給一差距，以 \(\varepsilon\) 表示之，即要求 \(|a_n-a|\) 需小於 \(\varepsilon\)。

但，何時 \(|a_n-a|<\varepsilon\)？
我們可沒說：「對每一 \(n\geq 1, |a_n-a|<\varepsilon\) 都要成立」。
而是說：「 \(n\) 要很大很大時， \(|a_n-a|<\varepsilon\) 才需成立」。

但，怎樣是很大很大？
如果從某一項 \(n_0\) 開始，\(|a_n-a|<\varepsilon\) 皆成立。你大約便只好服氣了。

於是便產生下述極限的定義：

若每一 \(\varepsilon >0\)，存在一  \(n_0\ge 1\)，使得 \(|a_n-a|<\varepsilon\)，
當 \(n\ge n_0\)，則稱 \(n\to\infty\) 時，\(a_n\to a\)，以 \(\lim_{n\to\infty} a_n=a\) 表之。

這個定義並非微積分一開始發展便有的，而是經過一百多年，數學家才想到以此方式來定義極限。要知數學上一個概念，常是經過長期的演變，才能以簡潔、嚴密、一般且抽象地方式呈現。後來的學習者，自然得花一點功夫，才能領悟此概念之內涵。

連結：大數法則（3）巨數法則

參考文獻:

1. 黃文璋(1999)，數學欣賞。華泰文化事業股份有限公司，台北。
2. 黃文璋(2003)，隨機思考論。華泰文化事業股份有限公司，台北。
3. 黃文璋(2010)，機率論，第二版。華泰文化事業股份有限公司，台北。
4. Chung K. L. (2001). A Course  in Probability Theory, 3rd ed, Academic Press, New York
5. Diaconis, P. and Mosteller,  F. (1989). Method for studying coincidences. Journal of the AmericanStatistical Association, 84, 853-861
6. Littlewood J.E.(1953). A Mathematican’s  Misscellany. Methuen, London.
7. Renyi, A.(1970). Foundations of Probability . Holden-Day, Inc., San Francisco.
8. Shermer, M.(2003). Co dified claptrap. Scientific American , June ,288(6), 35.
9. Shermer, M.(2004). Miracle on probability street. Scientific American , August, 291(2), 32.