定態軌道以及靜止軌道 (Stationary orbit)

定態軌道以及靜止軌道(Stationary orbit)
國立臺灣大學應用物理博士班張智豪

$$\bf{stationary~orbit}$$ 此英文名詞在衛星軌道力學中以及波耳的原子模型中指的是不同的兩件事，於前者中通常翻譯成靜止軌道，而在後者中則翻譯成定態軌道。

靜止軌道：

要談靜止軌道必須先講圓周運動與萬有引力。根據牛頓力學，當物體做非等向但等速的運動時， 必須要有力提供給它。例如等速圓周運動是等速但不等向的運動，所以必須有向心力提供給物體，物體才會做圓周運動。向心力的公式為

$$F=\displaystyle \frac{mv^2}{r}$$

其中 $$m$$ 為做圓周運動的粒子的質量，$$v$$ 為粒子做圓周運動時的速率(注意這裡的 $$v$$ 是純量而非向量)，$$r$$ 則為圓周運動的半徑。

而萬有引力公式則為

$$F=\displaystyle \frac{GMm}{r^2}$$

其中 $$G$$ 為萬有引力常數，$$M$$、$$m$$ 分別為互相吸引的兩個物體的質量，$$r$$ 為兩個相互吸引的物體之間的距離，而 $$F$$ 則為兩個相互吸引的物體個別所受的力。

所謂的靜止軌道是指，當一個人造衛星在赤道上空繞著地球做圓周運動時，它的周期恰等於地球自轉的周期，於是對地面上的人而言，此衛星看起來就固定在地球上空的某位置上靜止不動。利用向心力等於萬有引力的關係式，再加上人造衛星的周期必須等於地球自轉的周期這個限制，我們可以唯一決定出此衛星的軌道半徑。計算顯示，此衛星大約在地表上空 $$35800$$ 公里處。

定態軌道：

在波耳的原子模型中，電子繞原子核運動時，由於原子核與電子間的靜電吸引力遠比萬有引力大，所以我們通常假設電子做圓周運動時所需的向心力全由靜電吸引力提供。

但若只是假設電子繞原子核運動所需的向心力是由靜電吸引力提供，則電子的軌道半徑可以取各種數值，這樣就無法解釋原子光譜是離散的現象。於是波耳進一步假設允許的軌道之角動量只能是  $$h/2\pi$$ 的整數倍，其中 $$h$$ 是普朗克常數。多加了這個條件後，允許的軌道就是離散的，然後波耳進一步假設電子在這些軌道上可以一直穩定而不停的持續做圓周運動，不會發射出電磁波而損失能量，這些軌道變稱為定態軌道。

由於在量子力學中，粒子的古典力學軌道不再有很明確的定義，所以定態軌道的概念就被「定態」(stationary state)所取代了。量子力學中的「定態」指的是電子在空間中的機率分佈不隨時間改變的狀態。