矩陣列運算與基本矩陣

矩陣列運算與基本矩陣
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

高中程程中，有關線性方程組與矩陣的相關單元裡，介紹了矩陣的三種基本的列運算：

1. 第 \(i\) 列與第 \(j\) 列互換，以 \(R_{ij}\) 表示。
2. 第 \(i\) 列乘一非零常數 \(r\)，以 \(rR_i\) 表示。
3. 第 \(i\) 列乘一非零常數 \(r\) 加到第 \(j\) 列去，以 \(rR_i+R_j\) 表示。

本文中，將矩陣列運算與基本矩陣作一連結，並藉此探討利用增廣矩陣以及列運算來求乘法反矩陣的方法。

首先，我們考慮二階方陣以及 \(2\times k\)階矩陣。

設二階方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\)、以及 \(2\times k\) 階矩陣 \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\) 

（一）令 \({E_{12}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)，此矩陣與第一種列運算有關：

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} c&d\\ a&b \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}}\\ {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}} \end{array}} \right]\)

即在二階方陣 \(A\) 以及 \(2\times k\) 階矩陣 \(B\) 的左邊乘上 \(E_{12}\) 矩陣，相當於將矩陣的第一列與第二列互換。此亦可看成對矩陣進行 \(R_{12}\) 所示之列運算。

（二）令 \(r{E_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)、\(r{E_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]\)

則 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {ra}&{rb}\\ c&d \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ {rc}&{rd} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r{a_{11}}}&{r{a_{12}}}& \ldots &{r{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {r{a_{21}}}&{r{a_{22}}}& \ldots &{r{a_{2k}}} \end{array}} \right]\)

即在二階方陣 \(A\) 以及 \(2\times k\) 階矩陣 \(B\) 的左邊乘上 \(rE_1\)，相當於將矩陣的第一列乘上 \(r\)倍。此亦即對矩陣進行 \(rR_1\) 所示之列運算。

在二階方陣 \(A\) 以及 \(2\times k\) 階矩陣的左邊乘上 \(rE_2\)，相當於將矩陣的第二列乘上 \(r\) 倍。此亦可看成對矩陣進行 \(rR_2\) 所示之列運算。

（三）令 \({E_{r \cdot 1 + 2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]\)、\({E_{r \cdot 2 + 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]\)

則 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ {ra + c}&{rb + d} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a+rc&b+rd\\ {c}&{d} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {r{a_{11}} + {a_{21}}}&{r{a_{12}} + {a_{22}}}& \ldots &{r{a_{1k}} + {a_{2k}}} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r{a_{21}} + {a_{11}}}&{r{a_{22}} + {a_{12}}}& \ldots &{r{a_{2k}} + {a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\)

即在二階方陣 \(A\) 的左邊乘上 \(E_{r\cdot 1+2}\) 相當於將方陣 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\) 的第一列乘上 \(r\) 倍加到第二列。此亦即對矩陣進行 \(rR_2+R_1\) 所示之列運算。

在二階方陣 \(A\) 的左邊乘上 \(E_{r\cdot 2+1}\)，相當於將方陣 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\) 的第二列乘上 \(r\) 倍加到第一列。此亦可看成對矩陣進行 \(rR_2+R_1\) 所示之列運算。

上述這三類矩陣被稱為基本矩陣。在矩陣左邊乘上基本矩陣的效果，相當於對矩陣進行列運算。

反之，對矩陣進行列運算相當於在矩陣左邊乘上一基本矩陣。

我們易知這三類基本矩陣的行列式值非零，故皆可逆。其中：

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\) 的乘法反矩陣為 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right]\)。

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&r \end{array}} \right]\) 的乘法反矩陣為 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{1/r} \end{array}} \right]\)、\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\) 的乘法反矩陣為 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/r}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\)。

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ r&1 \end{array}} \right]\) 的乘法反矩陣為 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ { – r}&1 \end{array}} \right]\)、\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right]\) 的乘法反矩陣為 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – r}\\ 0&1 \end{array}} \right]\)。

由此可看出這三類基本矩陣的乘法反矩陣，亦是同類型的基本矩陣。

求二階方陣 \(A\) 之乘法反矩陣時，可以將 \(A\) 與乘法單位矩陣 \(I\) 寫成一增廣矩陣，接著，利用矩陣列運算將 \([A|I]\) 化為 \([I|B]\)。

若 \(A\) 可逆，則我們對增廣矩陣進行列運算後，可將 \([A|I]\) 化為 \([I|B]\)，同時，整個相當於存在一系列基本矩陣 \(E_1,E_2,\cdots,E_n\)，使得增廣矩陣 \([A|I]\) 的左邊乘上這一系列基本矩陣之積 \(E_n,\cdots,E_2,E_1\) 後，可變成 \([I|B]\)，亦即 \(E_n…E_2E_1[A|I]=[I|B]\)。

其中，\({E_n}…{E_2}{E_1}A = I\)、\({E_n}…{E_2}{E_1}I = B\)，可知 \(BA=I\)，

又 \({E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1}B = ({E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1})({E_n}…{E_2}{E_1}) = I\)

因為 \(BA=I\) 且 \({E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1}B = I\)，可知 \(A = {E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1}\)

（這是因為若 \(BA=I\)，且 \(CB=I\)，則 \(A=IA=(CBA)=CI=C\)）

即 \(\begin{array}{ll}{A^{ – 1}} &= {({E_1}^{ – 1}{E_2}^{ – 1}…{E_n}^{ – 1})^{ – 1}} = {({E^{ – 1}}_n)^{ – 1}}…{({E^{ – 1}}_2)^{ – 1}}{({E^{ – 1}}_1)^{ – 1}} \\&= {E_n}…{E_2}{E_1} = B\end{array}\)

由此可知，\(A^{-1}=B\)。亦即當我們對 \([A|I]\) 進行列運算，逐步化成 \([I|B]\) 時，所得之新矩陣 \(B\) 即 \(A\) 之乘法反矩陣 \(A^{-1}\)。換句話說，若 \(A\) 可逆，則存在一系列基本矩陣 \({E_1},{E_2},…,{E_n}\)，使得 \({E_n}…{E_2}{E_1} = {A^{ – 1}}\)。

本文中所討論的是二階方陣的情況，上述性質亦可推廣至三階、四階或者任意 \(n\) 階方陣。