玻色子與費米子二：粒子特性

玻色子與費米子二：粒子特性 (Bosons and fermions Ⅱ: Particles qualities)/strong>
國立臺灣大學物理系 林惟淨

連結：玻色子與費米子一：理論來源

在上一篇文章中我們解釋了玻色子與費米子的理論來源，是由我們必須改寫多粒子狀態下全同粒子的波函數而得。延續著玻色子與費米子的主題，接下來在這篇文章中，我們則要介紹這兩種粒子的特性。

首先我們要介紹一個費米子的重要特性—庖立不相容原理 (Pauli exclusion principle)。在上一篇文章中，我們提到兩個全同粒子的波函數應長成如下的形式：$$\Psi_{\pm}(\vec{r_1},\vec{r_2};t)=A\left[\Psi_a(\vec{r_1},t)\Psi_b(\vec{r_2},t)\pm\Psi_b(\vec{r_1},t)\Psi_a(\vec{r_2},t)\right]$$，其中取正號的為玻色子，取負號的為費米子。若我們假設這兩顆粒子處在相同的狀態下（即 $$a=b$$），則：$$\Psi_{-}(\vec{r_1},\vec{r_2};t)=A\left[\Psi_a(\vec{r_1},t)\Psi_a(\vec{r_2},t)-\Psi_a(\vec{r_1},t)\Psi_a(\vec{r_2},t)\right]=0$$，然而這是不可能的，因為波函數為零就意味著電子出現的機率為零，也就是說，沒有電子存在；因此，任意兩顆費米子不能共存於同樣的狀態，這就是庖立不相容原理。電子是一種費米子，在高中化學課上我們曾經學過元素的電子填軌域須遵守庖立不相容原理，並因此影響了元素的許多性質。

圖一、低溫狀態的費米子和玻色子。（圖片來源：本文作者林惟淨繪）

庖立不相容原理更造成了在低溫環境下，熱干擾極小時，費米子與玻色子兩種截然不同的粒子能階分布狀態。如圖一，在幾乎沒有外界熱源的情形下，粒子會趨於最低能階的狀態，因此一群玻色子會使所有的粒子都擠往最低的能階；然而費米子卻須遵守庖立不相容原理，因此會從最低能階開始一個一個往上填。在低溫接近絕對零度時，一群玻色子的量子態都聚集到最低能量的量子態，這樣的現象被稱為玻色—愛因斯坦凝聚 (Bose-Einstein condensation)。1995 年麻省理工學院的 Wolfgang Ketterle 與科羅拉多大學鮑爾德分校的 Eric Allin 和 Carl Edwin 使用氣態的銣原子實驗證實了玻色—愛因斯坦凝聚的存在（在 1.7 × 10⁻⁷ K 的低溫下），並加上他們對凝聚現象的研究，獲得 2001 年的諾貝爾物理學獎。

接下來我們要介紹的是玻色子與費米子的「自旋統計定理」(Spin-statistics theorem)。在正式進入主題之前，我們要先簡單的介紹一下「自旋」(Spin) 這個在量子世界中令人費解的概念：自旋是粒子本身具備、生來帶有的一種物理量，我們可以把它想成是粒子自轉的角動量（但要記得粒子不會真的自轉）。這個角動量是一個量子化（不連續）的物理量，我們可以用 $$s=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,…$$ 來表示，而同一種粒子的 $$s$$（自旋量子數）是唯一且不變的－例如電子的 $$s=\frac{1}{2}$$，光子 (Photon) 的 $$s=1$$……大致上了解自旋的概念後，我們要揭示一個驚人的事實：所有帶有整數自旋 $$(s=0,1,2,…)$$ 的粒子屬於玻色子，而所有帶有半奇數自旋 $$(s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},…)$$ 的粒子則屬於費米子（詳細的自旋量子數與對應的粒子種類請見表一）。這個結果就是所謂的自旋統計定理，這個定理須使用相對論性量子力學來證明，我們當然還無法理解，但可以先把這個驚人的結果記在腦海中。

表一、不同自旋量子數對應的玻色子與費米子。（表格來源：本文作者林惟淨製）

本文介紹了庖立不相容原理、玻色—愛因斯坦凝聚、自旋統計定理這些費米子和玻色子的相關特性；除此之外，還有許多與它們有關、或是由它們推導出的物理概念，但因需要更多的數學基礎，留待大家日後一探究竟。

參考文獻

1. Feynman, R., Leighton, R. B., & Sands, M. L. (1965). The Feynman Lectures on Physics: Commemorative Issue. v.3 Quantum mechanics. USA: California Institute of Technology.
2. Griffiths, D. J. (2014). Introduction to quantum mechanics (2nd ed.). USA：Pearson Prentice Hall.
3. 玻色-愛因斯坦凝聚｜維基百科。https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%BB%E8%89%B2%E2%80%93%E7%88%B1%E5%9B%A0%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%87%9D%E8%81%9A