真值蘊涵

真值蘊涵 (material implication)
中央研究院數學所李國偉研究員責任編輯

條件句「若…，則…」中的「…」可用符號代替，便寫成「若 $$p$$，則 $$q$$」，甚至更簡化為「$$p\rightarrow q$$」或「$$p\Rightarrow q$$」。這裡用的符號 $$p$$ 與 $$q$$ 稱為「命題符號」，而 $$\rightarrow$$ 與 $$\Rightarrow$$ 稱為「蘊涵符號」，所以條件句也可稱為蘊涵句。命題符號的特點是我們可以賦予它真假值，真值用 $$\bf T$$ 代表，假值用 $$\bf F$$ 代表。蘊涵符號的作用其實是一種連結詞，它把兩個組成份子的命題連結在一起，產生一個新的複合句。

現在問題來了，組成份子既然有真假值，那麼連結起來的蘊涵句該如何決定真假值呢？

我們先前講過日常語言裡，條件句有各種的表達方式與意味，數學用的條件句到底該依照誰的用法呢？在所有表達條件句的場合裡，其實都有一個共通點，就是前提為真而結論為假是絕對不能接受的。也就是說在下面的真值表裡，放在 $$\rightarrow$$ 之下的真值必然是 $$\bf F$$：

如果我們用 $$p\wedge q$$ 表示「$$p$$ 且 $$q$$」，用 $$\neg q$$ 表示 $$q$$ 的否定命題，上面的說法會導致我們應該把 $$p\rightarrow q$$ 看成具有跟 $$p\wedge\neg q$$ 相反的真假值。

看看後者的真值表：（還記得只有 $$p$$ 與 $$q$$ 均為 $$\bf T$$ 時，$$p\wedge q$$ 才是 $$\bf T$$ 嗎？）

 因此我們定義 $$\rightarrow$$ 真假值的方式自然會採取下表：

數學裡用的蘊涵句的真假值，就是根據上面這張表來判斷。這種賦予蘊涵句真假值的方式，在英文邏輯學的術語裡稱為material implication。如果把它翻譯為「實質蘊涵」，在中文的習慣語氣裡，會讓人覺得前提與結論似乎有某種密切的關係。偏偏上面製作真值表的立場，就是不要管 $$p$$ 與 $$q$$ 有什麼實質的關連，只要純粹從它們為真或為假，就完全決定了複合句的真假。

所以中文裡用「實質蘊涵」這種名稱反而容易引起誤解，我們建議用「真值蘊涵」來翻譯material implication，直接了當點出這種複合句的特性。 在「真值蘊涵」的脈絡裡，「若月亮是三角形的，則孔子誕生在民國元年。」這種古怪的命題才會被當作真命題。然而這可說是故意戲弄蘊涵句的kuso玩意，在數學裡作論證時，是沒有必要耍這種把戲的。我們所需要的是在正當推論的進程下，從真的前提推出真的結論。