地球的形狀

地球的形狀 (Shape of the Earth)
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

大家都知道，如果不要太計較，地球的形狀是個球。但牛頓說，認真計較的話，地球是個橢圓旋轉體，一個以地球赤道大圓一直徑為長軸，地球南北軸線為短軸的橢圓，以南北軸線為旋轉軸，旋轉而成的旋轉體。有人有不同的意見，認為赤道大圓的直徑比南北軸線要短，因此對南北軸線旋轉的結果，地球比較像檸檬，南北極較突出，赤道較內縮，而不像橘子──牛頓的主張。

兩者主張爭持不下，於是有人就去測量地表一弧度的弧長，來確定哪一方的主張較為正確。如果赤道附近一緯度弧長較極區附近一緯度弧長為短，則牛頓的主張正確；反之則否。

一般人要了解爭議的要點，往往就會在這裡掉入陷阱裡頭。如圖一，假設橢圓的長軸為 $${a}$$，短軸為 $${b}$$；$$\phi$$ 表一度的大小。那麼弧長 $$AC$$ 大約等於 $$a\phi$$ ($$\phi$$ 以弧度計算），弧長 $$BD$$ 大約等於 $$b\phi$$，但 $${a}$$ 大於 $${b}$$，所以 $$AC$$ 比 $$BD$$ 長，而不是較短。

如圖二，一個人站在地球上某一點 $$C$$ 時，通常無法知道 $$AC$$ 弧所對 $$\phi$$ 角的大小，而轉而用 $$\lambda$$ 角的大小表示該地的緯度；$$\lambda$$ 角就是站在 $$C$$ 點時所得北極方向的仰角。

我們常把橢圓的坐標參數化：$$x=a\cos\theta$$，$$y=b\sin\theta$$，但是參數 $$\theta$$ 既不是 $$\phi$$，也不是 $$\lambda$$，如圖三。三者的關係為 $$\phi < \theta <\lambda$$，且 $$\displaystyle\tan\lambda = \frac{a}{b}\tan\theta=\frac{a^2}{b^2}\tan\phi$$。

我們說 $$AC$$ 與 $$BD$$ 有相同的緯度差 $$\lambda$$（譬如一度），意思是如圖四所示，弧 $$AC$$ 與 $$BD$$ 在球心所張的角度 $$\phi_1$$ 與 $$\phi_2$$ 雖然不相等，但在 $$C$$ 與 $$D$$，其北極仰角 $$\lambda$$ 與 $$90^\circ-\lambda$$ 要互補。

經過一些計算可得

$$\displaystyle\phi_1\approx \frac{b^2}{a^2}\lambda$$，$$\displaystyle\phi_2\approx \frac{a^2}{b^2}\lambda$$，

$$AC$$ 弧 $$:$$ $$BD$$ 弧 $$\displaystyle\approx a\phi_1:b\phi_2=\frac{b^2}{a}\lambda:\frac{a^2}{b}\lambda=b^3:a^3$$

亦即，如果牛頓的主張正確，緯度差相同的弧長，在赤道附近較短，反之亦然。

1730年代，法國科學院派了兩組人馬，分別到南美洲的赤道附近，以及芬蘭的北部地區，用三角測量法，各量得一緯度的弧長，結果證明牛頓的預測是對的──地球比較像橘子，而不像檸檬。