和差角公式（Trigonometric Identities）

和差角公式（Trigonometric Identities）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

除了正餘弦定理外，和差角公式是三角學中最重要的定理。正弦函數的和角公式說

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$。

它有點複雜，但從幾何的觀點，它不過是說某個線段的分解組合。

如圖一，設半徑為 $$1$$，則

$$\begin{array}{ll}\sin(\alpha +\beta)&=AE=AF+EF=AD\cos\beta +DG\\&=\sin\alpha\cos\beta +OD\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta\end{array}$$

正弦函數的差角公式，還有餘弦函數的和差角公式，也都有簡單的幾何解釋。

西元二世紀的托勒密在其《天文學大成》中，說明如何利用正餘弦函數的和差角公式，來製作三角函數值表。首先，利用正五、六邊形的幾何性質，算得 $$\sin 72^\circ$$、$$\cos72^\circ$$、$$\sin60^\circ$$、$$\cos60^\circ$$ 之值。再用差角公式算得 $$\sin12^\circ$$、$$\cos12^\circ$$ 之值。然後利用半角公式（它是和角公式的衍生公式），算得 $$6^\circ$$、$$3^\circ$$、$$1.5^\circ$$、$$0.75^\circ$$ 的正餘弦值。再用內差法算得 $$1^\circ$$ 的正餘弦值。再用半角公式算得 $$0.5^\circ$$ 的正餘弦值。最後，一再使用和角公式，就算得間隔為 $$0.5^\circ$$ 的正餘弦函數之值表。

不過托勒密的和差角公式，卻是由圓內接四邊形的托勒密定理導得的。

托勒密定理說：圓內接四邊形兩雙對邊乘積之和等於兩對角線之乘積。

如圖二，$$AC$$ 為直徑，設其長為 $$1$$，則

$$\sin(\alpha +\beta)=\displaystyle\frac{BD}{AC}$$  (正弦定理)

$$=BD={BD} \times{AC}$$

$$={CD}\times{AB}+{AD}\times{BC}$$  (托勒密定理)

$$=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

反之，假設了和差角公式（同時也就假設了積化和差及和差化積公式），我們也可導得托勒密定理。

如圖三，設直徑為 $${d}$$，則由 $$\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180^\circ$$ 及正弦定理，得

$$\begin{array}{ll} CD\times AB+AD\times BC &= d^2(\sin\angle 1\sin \angle 4+\sin\angle 3\sin \angle 2)\\&=\displaystyle\frac{1}{2}d^2[\cos(\angle 4-\angle 1)-\cos(\angle 4+\angle 1)+\cos(\angle 3-\angle 2)-\cos(\angle 3+\angle 2)]\\&=\displaystyle\frac{1}{2}d^2[\cos(\angle 4-\angle 1)+\cos (\angle 3-\angle 2)]\end{array}$$

$$\begin{array}{ll}AC\times BD&=d^2\sin(\angle 1+\angle 3)\sin (\angle 3+\angle 4)\\&=\displaystyle\frac{1}{2}d^2[\cos(\angle 1-\angle 4)-\cos(\angle 1+\angle 3+\angle 3+\angle 4)]\\&=\displaystyle\frac{1}{2}d^2[\cos(\angle 1-\angle 4)+\cos(\angle 2-\angle 3)]\end{array}$$

就得托勒密定理。

由上可知，和差角公式與托勒密定理是等價的。