根號2是無理數的幾何證法與逼近（Geometric proof for the irrationality of 2 and

根號2是無理數的幾何證法與逼近（Geometric proof for the irrationality of $$\sqrt{2}$$ (and its approximation）
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師\國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

 一、幾何法

要證明「$$\sqrt{2}$$ 是無理數」，亦即證明正方形的邊長與對角線是不可公度量的，可以從純粹幾何的角度來證明。畢竟，無理數的「不可公度量性」，就是從幾何量的度量產生，它的定義，本身就有很強烈的幾何意涵。

如下圖：$$d,a$$ 分別是正方形 $$ABCD$$ 的對角線與邊長，利用輾轉相減的方法，從 $$d$$ 中減去 $$a$$，剩下的為 $$\overline{CF}=d-a$$；再從 $$a$$ 中減去 $$d-a$$，得到 $$\overline{CE}=a-(d-a)=2a-d$$；接下來，以 $$\overline{CF}$$ 為一邊，$$\overline{CE}$$ 為對角線，得到正方形 $$CFEG$$。

重復剛剛的動作，在 $$CFEG$$ 中以對角線 $$\overline{CE}$$ 減去邊長 $$\overline{EF}$$，得到$$\overline{CH}$$，再從邊長 $$\overline{CG}$$ 中減去 $$\overline{CH}$$，得到 $$\overline{CI}$$；再以 $$\overline{CI}$$ 為對角線，$$\overline{CH}$$ 為邊長畫一正方形，重復這些步驟，因為正方形的對角線與邊長絕不相等，所以，我們可以繼續一直作下去，根據《幾何原本》第十卷命題 $$2$$ 可知，正方形的對角線與邊長是不可公度量的。

如果正方形的邊長是 $$1$$，那麼對角線的就是長度 $$\sqrt{2}$$。上述的證明告訴我們：$$\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$$ 不能寫成兩個整數的比（即分數），因此 $$\sqrt{2}$$ 是無理數。

二、$$\sqrt{2}$$的有理逼近
$$\sqrt{2}$$ 是一個無理數，那 $$\sqrt{2}$$ 到底是多少？以下是Theon of Smyrna（西元第2世紀）所給的一個 $$\sqrt{2}$$ 的有理數逼近的方法。這個方法要從《幾何原本》的第二卷命題10說起：

如果二等分一條線段，且在同一直線上再給原線段添加上一條直線，則合成線段上的正方形與添加線段上的正方形的和等於原線段一半上的正方形與一半加上添加線段之加的正方形的和的二倍。

如圖，即 $${AD^2}+{DB^2}=2({AC^2}+{CD^2})$$

若 $$\overline{AC}$$＝小正方形的邊，$$\overline{BD}$$＝對角線，則 $${\overline{BD}}^2={2\overline{AC}}^2$$，所以，$${\overline{AD}}^2=2{\overline{CD}}^2$$。

設 $$\overline{AD}$$＝大正方形的對角線，$$\overline{CD}$$＝大正方形的邊，設$$\overline{AC}=s$$，$$\overline{BD}=d$$，

則可得到 $$\overline{CD}=s+d$$，$$\overline{AD}=2s+d$$

我們也可將上述幾何證法中的步驟反過來看，如果第一個正方形的邊長是 $$a_1$$，其對角線是 $$d_1$$。從前面的證明過程可以知道，第二個正方形的邊長$$a_2=a_1+d_1$$，對角線$$d_2=a_1+a_2=2a_1+d_1$$，第三個正方形的邊長$$a_3=a_2+d_2$$，對角線$$d_3=a_2+a_3=2a_2+d_2$$，… 從這個過程我們可以看出，下一個正方形的邊長，是前一個正方形邊長再加上它的對角線的和；而下一個正方形的對角線長，則是前一個正方形邊長的 $$2$$ 倍再加上它的對角線長。

在西元第2世紀時，Theon of Smyrna以這樣的形式，造了兩個數列 $$S_n$$ 與 $$T_n$$：

對所有的自然數而言，令 $$S_{n+1}=S_n+T_n$$，$$T_{n+1}=2S_n+T_n$$，

當 $$S_1=1$$，$$T_1=1$$ 時，$$S_2=2$$，$$T_2=3$$，

$$\displaystyle\frac{T_2}{S_2}=\frac{3}{2}$$，$$\displaystyle\frac{T_3}{S_3}=\frac{7}{5}$$，$$\displaystyle\frac{T_4}{S_4}=\frac{17}{12}$$，$$\mbox{…}$$

這兩個數列的比值最後就會趨近於$$\sqrt{2}$$。

我們從圖形來看，可以看得很清楚，假設$$D_n$$是正方形邊長$$S_n$$時的對角線長，所以$$\frac{D_n}{S_n}=\sqrt{2}$$。當 $$n=3$$ 時，$$D_3$$ 就與 $$T_3=\frac{7}{5}S_3$$ 幾乎辨不出（即 $$D_3\fallingdotseq{T_3}=\frac{7}{5}S_3$$），也就是說，$$\frac{7}{5}$$ 是 $$\sqrt{2}$$ 的近似值。所以，在中國古算書中常常會以「方五斜七」說明 $$\sqrt{2}$$ 的近似值，就是這個道理。

參考資料
1.Euclid（1956）.The Thirteen Books of The Elements（translated with introduction ad commentary by Sir T.L.Heath）.New York:Dover Publications,INC.
2.Daumas D. and M. Guillemot（1997）.‘Must we always be rational? From incommensurable magnitudes to real number’, in Evelyn Barbin ed., History of Mathematics－History of problems（translated by C. Weeks）.  Paris：ellipses.
3.Katz,V.J.（1993）,A History of Mathematics, New York：HarperCollins College Publishers.
4.洪萬生（1993），〈閒話$$\sqrt{2}$$〉，編入洪萬生，《孔子與數學－一個人文的懷想》，台北：明文書局。