複數的ｎ次方根（nth root of complex number）

複數的ｎ次方根（nth root of complex number）
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

根據代數基本定理與因式定理得知，$$n$$ 次方程式 $$x^n={a}$$ ($${a}$$是複數)恰有 $$n$$ 個複數根，這 $$n$$ 個根稱為 $${a}$$ 的 $$n$$ 次方根。現在，我們應用棣美弗定理求解此方程式。

假設複數 $$z$$ 是方程式 $$x^n={a}$$ 的根，即 $$z^n={a}$$。以極式表示：

雖然整數 $$k$$ 有無限多個，乍看之下好像也有無限多個 $$\theta$$，但 $$k=0,1,2,\mbox{……},n-1$$ 得出的 $$n$$ 的輻角 $$\theta$$，和 $$k=n,n+1,n+2,\mbox{……},2n-1$$ 得出的 $$n$$ 個輻角 $$\theta$$ 是同界角，而且 $$\sin\theta$$、$$\cos\theta$$ 的週期為 $$2\pi$$，故取 $$k=0,1,2,\mbox{……},n-1$$，即複數 $$z$$ 的主輻角 $$\theta$$ 為

$$\displaystyle \frac{\phi}{n},~~~\frac{\phi+2\pi}{n},~~~\frac{\phi+4\pi}{n},\mbox{……},\frac{\phi+2(n-1)\pi}{n}$$

因此，$$a$$ 的 $$n$$ 個 $$n$$ 次方根為

$$\displaystyle z_k=\sqrt[n]{|a|}(\cos\frac{\phi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\phi+2k\pi}{n})$$

其中$$k=0,1,2,\mbox{……},n-1$$。

在複數平面上，這 $$n$$ 個 $$n$$ 次方根落在以原點為圓心、$$\sqrt[n]{|a|}$$ 為半徑的圓上，並且平均分布在圓內接正 $$n$$ 邊形的頂點上。當然，方程式 $$x^n={a}$$ 的 $$n$$ 次方根涵蓋了之前討論過的 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根。底下，我們舉個例子來熟悉複數的 $$n$$ 次方根。

例題：求解 $$-8+8\sqrt{3}i$$ 的四次方根。

解：假設複數 $$z$$ 是 $$-8+8\sqrt{3}i$$ 的四次方根，

以極式表示，$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$、$$-8+8\sqrt{3}i=16(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin\frac{2\pi}{3})$$，

所以 $$z^4=-8+8\sqrt{3}i\Rightarrow[r(\cos{\theta}+i\sin\theta)]^4=16(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{2})$$，

由棣美弗定理 $$[r^4(\cos 4\theta+i\sin 4\theta)]=16(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})$$，

由複數的相等性質（$$r$$ 是大於 $$0$$ 的實數，$$4\theta$$ 和 $$\frac{2\pi}{3}$$ 是同界角），

因此，$$z_k=2(\cos(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{4}))$$，其中$$k=0,1,2,3.$$。
即

所以，$$-8+8\sqrt{3}i$$ 的四次方根為 $$\sqrt{3}+i,-1+\sqrt{3}i,-\sqrt{3}+i,1-\sqrt{3}i$$。

上述是標準的解法，但是對多數的學生而言是相當不容易的。底下，用「回到$$1$$」的觀念提供另一個簡單的解法。

解：首先，找出一個$$-8+8\sqrt{3}i$$的四次方根，

$$-8+8\sqrt{3}i=16(\cos\frac{2\pi}{3}+i{sin}\frac{2\pi}{3})=(2(\cos\frac{\pi}{6}+i{sin}\frac{\pi}{6}))^4=(\sqrt{3}+1)^4$$

將方程式整理，「回到$$1$$」，

$$z^4=-8+8\sqrt{3}i\Rightarrow\frac{z^4}{-8+8\sqrt{3}i}=1\Rightarrow\frac{z^4}{(\sqrt{3}+i)^4}=1\Rightarrow(\frac{z}{\sqrt{3}+i})^4=1$$，

$$1$$的四次方根顯然容易多了，所以$$\frac{z}{\sqrt{3}+i}=1,i,-1,-i$$，

因此$$z=\sqrt{3}+i, -1+\sqrt{3}i, -\sqrt{3}-i, 1-\sqrt{3}i$$。