棣美弗定理

棣美弗定理 (De Moivre’s Theorem)
國立屏東高級中學 數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

是誰讓蜘蛛如棣美弗那般精確，不靠量尺準繩就設計出圖樣？

這段話是英國詩人波普 (Alexander Pope) 在他的著作《人的讚禮》中，對棣美弗的數學能力表示敬意。棣美弗 (Abraham De Moivre, 1667-1754 ) 出生於法國香檳省維崔鎮的新教徒家庭，因為新舊教派的鬥爭而遭到拘禁兩年，隨後遷居英國，成為牛頓和哈雷的摯友，還獲選為英國皇家學會會員、柏林科學院士和法國科學院士。他於1718 年發表《機遇論》(The Doctrine of Chances) 一書，成為機率論的先驅。

著名的棣美弗定理：

$$({\cos\theta+i\sin\theta})^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}~~~,n\in{N}$$

是他在1707 年發現，1722 年正式發表，首度把複數納入三角函數中，求解一元 $$n$$ 次方程式。

誠如麥凱 (Herbert Mc Kay) 在他的著作《數的世界》中說到：「棣美弗定理掌握了進入複三角學新世界之鑰。」茲將此定理改寫如下：

若 $$z=\cos\theta+i\sin\theta$$，則 $$z^n=\cos{n}\theta+i\sin{n}\theta$$，$$n\in{N}$$。

這個定理由複數極式的乘法延伸不難理解，其道理也不言可喻。在此，我們運用用數學歸納法加以證明：

(１)當 $$n=1$$ 時，
$$z^1=\cos\theta+i\sin\theta=\cos 1\cdot(\theta)+i\sin 1 \cdot(\theta)$$ 等式成立。

(２)設 $$n=k$$ 時，等式成立。即 $$z^k=\cos {k\theta}+i\sin {k\theta}$$。
則當 $$n=k+1$$ 時，
$$\begin{array}{ll}z^{k+1} &=z^k\cdot z^1\\&=(\cos {k\theta}+i\sin{k\theta})\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)\\&=\cos(k\theta+\theta)+i\sin(k\theta+\theta)\\&=\cos[(k+1)\theta]+i\sin[(k+1)\theta]\end{array}$$
等式亦成立。

故由數學歸納法得知，對所有的正整數 $$n$$，$$z^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$$都成立。

上面敘述的複數極式是 $$r=1$$ 和 $$n$$ 為正整數的情況，還可以推廣到任意的正實數 $$r$$ 和整數 $$n$$。

即：若 $$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$，則 $$z^n=r^n(\cos{n\theta}+i\sin{n\theta})$$，$$n{\in}Z$$。

底下，我們由例題來熟悉棣美弗定理。

例題：設 $$z=-1+{\sqrt{3}}i$$，求 $$z^{10}$$。

解：先將 $$z$$ 轉換成極式，

從在面例題可以看到棣美弗定理在指數問題上的效用，它讓運算變得簡單！

參考資料

• 毛爾(Eli Moar)(2000).《毛起來說三角》（胡守仁譯），台北：天下文化。
• 杜瑞芝主編(2000). 《數學史辭典》，濟南：山東教育出版社。