一次因式檢驗法與有理根判別法（Linear factor test and determination of rational root）

一次因式檢驗法與有理根判別法（Linear factor test and determination of rational root）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

當多項式 \(f(x)\) 的係數都是整數的時候，就稱之為「整係數多項式」。對於整係數多項式，我們可以利用整數的因數、倍數關係，來找尋它的整係數一次因式，這個方法，就稱之為「整係數多項式的一次因式檢驗法」，簡稱「一次因式檢驗法」：

 \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0\) 是 \(n\) 次整係數多項式，
若 \(f(x)\) 有一次因式 \(ax-b\)，其中 \(a\) 與 \(b\) 是互質的整數，
則 \(a\) 是首項係數 \(a_n\) 的因數，且 \(b\) 是常數項 \(a_0\) 的因數。

要特別注意的是，此檢驗法給我們的是整係數一次因式會滿足的條件，而非滿足此條件的都是因式。例如 \(f(x)=(2x-1)(3x-2)=6x^2-7x+2\)，\(3x-2\) 是 \(f(x)\) 因式，確實滿足 \(3\) 是首項係數 \(6\) 的因數，且 \(2\) 是常數項 \(2\) 的因數；另找一個一次式 \(x-1\)，這亦滿足首項係數的因數與常數項的因數，但顯然 \(x-1\) 並非 \(f(x)\) 的一次因式。

利用一次因式檢驗法，我們可以列出所有可能的整係數一次因式，再利用因式定理逐一檢驗，就可以找出所有的整係數一次因式。以下利用一個例題來演示完整的作法。

例題：因式分解 \(f(x)=x^4+2x^3-x-2\)。

解：首項係數 \(1\) 的因數有 \(\pm{1}\)，常數項 \(-2\) 的因數有 \(\pm{1}\)、\(\pm{2}\)，故 \(f(x)\) 可能的一次因式有 \(x+1\)、\(x-1\)、\(x+2\)、\(x-2\)、\(-(x+1)\)、\(-(x-1)\)、\(-(x+2)\)、\(-(x-2)\)，我們只要用因式定理檢驗前四個就夠了：\(f(1)=0\)、\(f(-1)=-2\)、\(f(2)=28\)、\(f(-2)=0\)，故 \(x-1\) 與 \(x+2\) 為 \(f(x)\) 的一次因式。

再利用除法，將 \(f(x)\) 除以 \(x-1\) 與 \(x+2\)，可得 \(x^2+x+1\)，即 \(f(x)=(x-1)(x+2)(x^2+x+1)\)。

我們將一次因式檢驗法用在整係數多項式方程式上，就成了「整係數多項式方程式的有理根判別法」，簡稱「有理根判別法」：

\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0=0\) 是 \(n\) 次整係數多項式方程式，
若 \(f(x)=0\) 有一個有理根 \(\displaystyle\frac{b}{a}\)，其中 \(a\) 與 \(b\) 是互質的整數，
則 \(a\) 是首項係數 \(a_n\) 的因數，且 \(b\) 是常數項 \(a_0\) 的因數。

「一次因式檢驗法」與「有理根判別法」其實是一體的兩面，說得明白一點，當 \(ax-b\)（\(a\) 與 \(b\) 是互質的整數）是 \(f(x)\) 的一次因式，那 \(\displaystyle\frac{b}{a}\) 不就是 \(f(x)=0\) 的有理根嗎？反之亦然。