多項式不等式（上）：一次不等式與二次不等式（Polynomial inequality (I): Inequalities of first and second order）

Posted on 2010/11/30 in 函數, 多項式函數, 數學 with 沒有迴響 8,688 views

多項式不等式（上）：一次不等式與二次不等式（Polynomial inequality (I): Inequalities of first and second order）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

若 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式，
則 $$f(x)>0$$，$$f(x)\geq{0}$$，$$f(x)<0$$，$$f(x)\leq{0}$$，都稱為 $$n$$ 次多項式不等式，簡稱「$$n$$ 次不等式」。而所謂的解 $$n$$ 次不等式，就是找出滿足該不等式的所有 $$x$$ 值。不等式的基本運算為：

加法原理：若 $$a>b$$，則 $$a+c>b+c$$ 且 $$a-c>b-c$$。
乘法原理：若 $$a>b$$，則 $$\begin{cases}if~~c>0,~ac>bc\\if~~c<0,~ac<bc\end{cases}$$

讓我們從一次不等式 $$ax+b>0$$，$$a\neq{0}$$ 看起。從代數運算來看，可以化簡成 $$ax>-b$$，接下來就要考慮 $$a$$ 的正負了。若 $$a>0$$，則兩邊同除以 $$a$$，可得 $$x>\frac{-b}{a}$$。若 $$a>0$$，則兩邊同除以 $$a$$ 後，不等號「$$>$$」要改變方向變成「$$<$$」，得 $$x<\frac{-b}{a}$$。

例如 $$-2x+4>0\Longrightarrow{-2x}>-4\Longrightarrow{x}<\frac{-4}{-2}\Longrightarrow{x}<2$$，也就是說只要比 $$2$$ 小的實數都會滿足 $$-2x+4>0$$，故比 $$2$$ 小的實數都是 $$-2x+4>0$$ 的解。

我們還可以從幾何意義來看 $$ax+b>0$$，$$y=ax+b$$ 在坐標平面上代表的是一條直線，故 $$ax+b>0$$ 就是要求哪些 $$x$$ 值會使得直線上的點落在上半平面。例如下圖就是 $$-2x+4>0$$ 的幾何圖解，因 $$x=2$$ 並非不等式之解，故 $$(2,0)$$ 該點用空心之圓圈表示。至於 $$ax+b\geq{0}$$，$$ax+b<0$$，$$ax+b{\leq}0$$ 的解均可仿照上述方法求得。

至於二次不等式 $$f(x)=ax^2+bx+c>0$$，為方便討論，我們假設二次項係數（若 $$a<0$$，則可利用移項得 $$-ax^2-bx-c<0$$，此時二次項係數就是正數了）。

從 $$ax^2+bx+c=0$$ 之解來看，可分成下列三種情形：

若 $$ax^2+bx+c=0$$ 兩解為相異實數 $$\alpha$$ 與 $$\beta$$，$$\alpha>\beta$$，
則 $$f(x)$$ 可因式分解成 $$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)>0$$。
從代數運算來看，因 $$a>0$$，
所以 $$a(x-\alpha)(x-\beta)>0$$ 表示 $$x-\alpha$$ 與 $$x-\beta$$ 要同號（同為正或同為負），
即 $$\begin{cases}x-\alpha>0\\x-\beta>0\end{cases}$$ 或 $$\begin{cases}x-\alpha<0\\x-\beta<0\end{cases}$$，又 $$\alpha>\beta$$，
故 $$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)>0$$ 之解為 $$x>\alpha$$ 或 $$x<\beta$$。

仿照上述之討論可知 $$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)<0$$，其解為 $$\beta<x<\alpha$$。

上述的過程可以簡化成數線圖，如下圖左，
若要 $$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)>0$$，則選「$$+$$」的部分，即 $$x>\alpha$$ 或 $$x<\beta$$；
若要 $$f(x)=\alpha(x-\alpha)(x-\beta)<0$$，則選「$$-$$」的部分，即 $$\beta<x<\alpha$$。

若從幾何意義來看，已知 $$a>0$$ 時，$$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$$ 之圖形為開口向上的拋物線，$$(\alpha,0)$$ 與 $$(\beta,0)$$ 是拋物線與 $$x$$ 軸的交點，圖形如下圖右。$$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)>0$$ 表示拋物線在 $$x$$ 軸之上的部分，故 $$x>\alpha$$ 或 $$x<\beta$$。 $$f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)<0$$ 表示拋物線在 $$x$$ 軸之下的部分，故 $$\beta<x<\alpha$$。
例題：解不等式 $$x^2-3x+2>0$$。
解：$$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$$ 故 $$x=1$$ or $$2$$ 是 $$x^2-3x+2=0$$ 之解
 故 $$x^2-3x+2>0$$ 之解為 $$x>2$$ 或 $$x<1$$
若 $$ax^2+bx+c=0$$ 兩解為相等實數 $$\alpha$$，
這就表示 $$ax^2+bx+c$$ 是完全平方式 $$a(x-\alpha)^2$$，
則只要 $$x\neq{\alpha}$$，都會滿足 $$f(x)=a(x-\alpha)^2>0$$，
故其解為「除了 $$\alpha$$ 以外的實數」，可簡記為 $$x\neq{\alpha}$$。
倘若要 $$f(x)=a(x-\alpha)^2<0$$，那就沒有實數能滿足，也就是沒有實數解。
這種情形的幾何意義請見下圖左。
若 $$ax^2+bx+c=0$$ 無實根，
即判別式 $$b^2-4ac<0$$，又 $$a>0$$，可知 $$f(x)=ax^2+bx+c$$ 恆正，
即所有的實數都會滿足 $$f(x)=ax^2+bx+c>0$$，故其解為全體實數。
倘若要 $$f(x)=ax^2+bx+c<0$$，那就沒有實數能滿足，也就是沒有實數解。
這種情形的幾何意義請見上圖右，
$$ax^2+bx+c=0$$ 無實根表示 $$f(x)=ax^2+bx+c$$ 的圖形與 $$x$$ 軸沒有交點。