正弦定理(Law of sine)

正弦定理(Law of sine)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

正弦定理：若 \(\Delta{ABC}\) 的三邊長 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，

則恆有性質 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)，此稱為正弦定理。

證明：因為 \(a\Delta{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)，

同乘二倍得 \(bc\sin{A}=ca\sin{B}=ab\sin{C}\)

同除 \(abc\) 得 \(\displaystyle\frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}\)，

取其倒數得 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}~-(1)\)。

在不失一般性的情形下，我們以圓內接銳角三角形進行證明，如圖一所示。  

\(\overline{BC}\) 中點 \(M\)，則 \(\overline{BM}=\frac{1}{2}\overline{BC}=\frac{a}{2}\)，而 \(\angle{BOM}=\frac{1}{2}\angle{BOC}=\frac{1}{2}(2\angle{A})=\angle{A}\)，

根據正弦函數定義：\(\displaystyle\sin{A}=\frac{\frac{a}{2}}{R}=\frac{a}{2R}\)，\(\therefore\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=2R\)

代入 \((1)\) 得 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)，得證。

正弦定理特例：如果我們假設三角形的外接圓直徑的長度為 \(1\)，則正弦定理會轉換成 \(a=\sin{A},b=\sin{B},c=\sin{C}\)，這個結論顯示出內接於直徑為 \(1\) 的圓，此三角形邊長等於對角的正弦值，而這個邊長就是三角形在圓上所張開的弦長，如圖二所示。

高中的正弦定理是國中幾何中「三角形中，大邊對大角，小邊對小角，反之亦然。」的具體量化定理，透過正弦定理，我們可以導出正切定理(Law of tangent)：

\(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}\)。

證明：

\(\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{a-b}{a+b}&\displaystyle=\frac{2R\sin{A}-2R\sin{B}}{2R\sin{A}+2R\sin{B}}=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{\sin{A}+\sin{B}}\\&\displaystyle=\frac{2\sin(\frac{A-B}{2}\cos(\frac{A+B}{2}))}{2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})}\\&\displaystyle=\frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}\end{array}\)

正弦定理推廣：四面體 \(OABC\) 中，如圖三所示，我們透過正弦定理的應用可得下列性質：

\(\sin\angle{OAB}\cdot\sin\angle{OBC}\cdot\sin\angle{OCA}=\sin\angle{OAC}\cdot\sin\angle{OCB}\cdot\sin\angle{OBA}\)

正弦定理還可以延伸至光學的司乃耳定律(Snell’s Law)，這個公式是用來描述光的行進路徑，其入射角 \(\angle{AOP}=\theta_1\) 的正弦函數值 \(\sin\theta_1\)、折射角 \(\angle{BOQ}=\theta_2\) 的正弦函數值 \(\sin\theta_2\) 與光在不同介質的速率 \(v_1,v_2\) 的關係，如圖四所示：

因為光經過兩個介質的時間 \(\displaystyle{t}=\frac{\overline{PO}}{v_1}+\frac{\overline{OQ}}{v_2}=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}{v_2}\)，

解出 \(\frac{dt}{dx}=0\)，即光在兩個介質間所費時間的最小值，微分得

\(\displaystyle\frac{1}{v_2}\cdot\frac{1}{2}(a^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot{2}x+\frac{1}{v_2}\cdot\frac{1}{2}[b^2+(d-x)^2]^{\frac{1}{2}}\cdot{2}(d-x)\cdot(-1)=0\)，

整理上式得 \(\displaystyle\frac{x}{v_1\cdot\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{d-x}{v_2\cdot\sqrt{b^2+(d-x)^2}}\)，

即 \(\displaystyle\frac{\frac{x}{a^2+x^2}}{v_1}=\frac{\frac{d-x}{b^2+(d-x)^2}}{v_2}\)，

根據三角函數定義得 \(\displaystyle\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\)，透過一些轉換，就可將上式寫成司乃耳定律：

\(\displaystyle\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}\)，

其中 \(n_1,n_2\) 分別是兩個介質的折射率(refractive index)。

司乃耳定律是湯瑪斯．哈力特 (Thomas Harriot, 1560-1621) 在1602 年所發現的，雖然他曾與克卜勒 (JohannesKepler, 1571-1630) 通信時談論此定律，可惜，他未發表此結果。到了1621 年，司乃耳 (Willebrord Snellius, 1580-1626) 導出此一相關數學恆等式，可是終其一生也未曾出版。

直到1637 年，笛卡兒 (René Descartes, 1596-1650) 在其作品《方法論》(Discourse on Method) 利用有啟發性的動量守恆原理導出此一定律，而且，他還利用此一定律解決許多光學方面的問題。最後，費瑪 (Pierre de Fermat, 1601-1665) 採取光行進的最短時間原理，而證明此一定律等式，我們上一段所述的證明過程，就是仿自他的版本。

參考資料

1. 毛爾(Eli Maor)著（胡守仁譯），《毛起來說三角》(Trigonometric Delights)，台北：天下遠見出版社，2000年。
2. 蔡聰明，《數學的發現趣談》，台北：三民書局，2000年。
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_sines。