靜力平衡簡介

靜力平衡簡介 (Introduction of Static Equilibrium)
國立臺灣師範大學附屬高級中學物理科陳智勝老師/國立臺灣師範大學物理系蔡志申教授責任編輯

靜力平衡的基本定義是：當物體處於靜力平衡 (static equilibrium)，物體上的每個質點皆處於靜止的狀態；這是一個較嚴格的定義，它規定物體的狀態必須處於靜止。另一種比較寬鬆的定義為：力學平衡 (mechanical equilibrium)。力學平衡的的條件為：（1）質點所受的合力（淨力）為零；（2）質點所受的合力矩為零。

如果系統為一個剛體，則其力學平衡的定義為：（1）各質點所受的合力（淨力）為零；（2）各質點所受的合力矩為零。當剛體處於力學平衡中，其線加速度為零，角加速度亦為零。故此剛體會作等速度運動或是等角速度轉動。

在保守力場之下，物體是否處於平衡狀態可以用位能梯度來表示。如果物體處於平衡狀態，則其位能梯度為零，亦即物體位能隨著空間的變化率為零，以一維空間來說即

舉例來說：在重力場的作用下，假設一物體放置於光滑斜面上，如下圖所示。

其位能可以寫成 U(x) = kx ， k 為常數。若要求得物體位能梯度，可以取 U 的一次導函數，即 。我們發現不論 x 為何，物體位能梯度皆不為零，代表物體在任何地方都處於不平衡的狀態。

另外，再假設一物體放置於光滑拋物面中，如下圖所示。

其位能可以寫成 U(x) = kx² ，此處 k > 0 。若取 U 的一次導函數，即 ，我們發現只有在 x = 0 的地方，物體位能梯度才會等於零，代表物體處於 x = 0 的位置才可能平衡。顯然的， x = 0 的地方就是拋物光滑面的最底部。
如果取 U 的二次導函數，即 ，當 U’’(x) > 0 ，則物體處於處於穩定平衡（stable equilibrium）。穩定平衡下的物體，物體處於位能相對最低點，一旦離開平衡位置，會有一股外力傾向於將其恢復到平衡位置。

另外，假設物體處於開口向下的光滑拋物面頂點，如圖所示。

物體位能可以寫成 U(x) = kx² ，此處 k <0 。若取 U 的一次導函數，即 ，我們發現在 x = 0 的地方，物體位能梯度等於零，故物體在處於平衡狀態。但是我們取 U 的二次導函數，即 ，我們發現 U’’(x) < 0 ，表示物體處於處於不穩定平衡 (unstable equilibrium)。此例子中，物體處於位能相對最高點，物體一旦離開平衡位置，就會受到外力使其傾向更遠離平衡點。

參考資料
1.維基百科–靜力學  http://en.wikipedia.org/wiki/Statics
2.維基百科–力學平衡  http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_equilibrium