微積分初階－歷史發展的眼光（1）前言（First Course in Calculus－A Historical Approach 1. Introduction

微積分初階－歷史發展的眼光（1）前言（First Course in Calculus－A Historical Approach 1. Introduction）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

數、函數、空間是數學研究的主要對象，分別發展出代數學、分析學與幾何學。函數（function）是微積分的主角。我們要對函數做微分並且做積分，然候作各種的應用，包括應用到數學本身以及大自然的變化與運動現象。

函數的重要性是，它們代表著自然律（laws of nature）或是更廣泛的數學律（laws of mathematics），反應著數學、自然或人文現象的量與量之間的關係，表現為各種模型（models）。函數有無窮多，其中只有少數有名字、有公式，大多數是屬於沒有名字、沒有公式的無名英雄。

在有名字、有公式的函數中，我們最熟悉的是：多項函數、三角函數、指數函數、對數函數、雙曲三角函數、有理函數、無理函數、．．．等。這些函數也是微積分要研究的首要對象。

微積分是高中基礎數學的總驗收，在這個基礎上作更上一層樓的發展。對於一個函數 $$y=f(x)$$，微積分要研究：因為獨立變數 $$x$$ 的無窮小變化量 $$dx$$，從而導致應變數 $$y$$ 的無窮小變化量 $$dy$$，然後探求它們的變化率 $$dy/dx$$，叫做微分，以及無窮多個無窮小的面積 $$f(x)dx$$ 之連續求和 $${\int}_a^b{f(x)}dx$$，叫做積分。

這些都涉及無窮步驟（infinite processes），從而產生：無窮小量、無窮大、無窮多、無限地靠近、連續性、極限、．．．等深奧而又難纏的概念。微積分是道道地地直接面對了「無窮」，充滿著美妙、困惑與迷人，有時又不免又會出現矛盾。

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（2）促動微積分誕生的四類問題

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，$$2009$$。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第$$19$$章。三民書局，台北，$$2010$$。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
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5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue.Princeton University Press,$$2005$$.
6. Toeplitz：The Calculus,A Genetic Approach.The University of Chicago Press.$$1963$$