微積分初階－歷史發展的眼光（2）促動微積分誕生的四類問題（First Course in Calculus－A Historical Approach 2.Four kinds of problems in Calculus

微積分初階－歷史發展的眼光（2）促動微積分誕生的四類問題（First Course in Calculus－A Historical Approach 2.Four kinds of problems in Calculus）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（1）前言

問題是數學探索與思考的出發點。數學之發源於問題，就好像人類古文明之發源於大河旁一般，非常自然。提出問題，再尋求問題的解答（The art of problem posing and problem solving）乃是啟開智慧與思想的最佳法門。更確切地說，數學是人類在長期探索自然的過程中，不時地叩問自然乃至逼問自然，所創造發展出來的產物。

到底是哪些問題促成了微積分的誕生呢？微積分起源於要解決下面四類古老而實用的問題，人們才創造出解決問題的概念與方法，經過長久的改進與演化，終於發展出一門深刻而漂亮的有系統學問。

1. 求積問題：求積、體積、表面積、曲線的長度．．．等等。
2. 求切線問題：求曲線的切線與法線。
3. 求極值問題：求函數的極大值或極小值。
4. 研究物體的運動問題：一個質點的運動，已知里程是時間的函數，如何求速度函數？反過來，已知速度函數，如何求出里程函數？

事實上，這四類問題歸結起來只有求積與求切線這兩類而已；因為求極值與求速度可歸結為求切線問題，而求里程也可歸結為求積問題。

用解析幾何的術語來說，求切線問題就是欲求過函數圖形上的一點 $$P$$ 的切線，參見圖１：而求積問題就是求函數圖形所圍成的領域之面積，參見圖２。

德國偉大的數學家希爾伯特（Hilbert,$$1862-1943$$）說：

 　　　　只要一門科學仍然提供豐富的問題，那麼它就是有源之泉。

他又說：

當我們獻身於一個數學問題時，最迷人的事情就是在我們的內心深處響起了一個聲音：
這裡有個問題，去尋求它的解答吧，只要純粹運用思考就可以找到答案。

對於求積與求切線這兩類問題，人類參悟了大約兩千五百年之久才逐漸揭開謎底。求積問題發展出積分學（Integral Calculus），而求切線的問題發展出微分學（Differential Calculus）。兩者具有互逆的演算關係，是一體的兩面。如果一個是開門的話，另一個就是關門，故必須合起來一起研究，統稱為微積分學（Calculus）。

連結：微積分初階－歷史發展的眼光（３）微積分是「以有涯逐無涯」的學問

參考文獻：

1. 蔡聰明：微積分的歷史步道。三民書局，台北，2009。
2. 蔡聰明：數學的發現趣談，第二版，第19章。三民書局，台北，2010。
3. Edward：微積分發展史，凡異出版社，林聰源譯。
4. Simons：Calculus Gems, Brief Lives and Memorable Mathematics.McGraw-Hill, Inc. 1992.
5. Dunham：The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to　Lebesgue.Princeton University Press, 2005.
6. Toeplitz：The Calculus, A Genetic Approach.The University of Chicago Press. 1963