從 y=2sin x．sin 20x 的圖形談起（The graph of y=2sin x．sin 20x）

從 $$y=2{\sin}x\cdot\sin{20}x$$ 的圖形談起（The graph of $$y=2\sin{x}\cdot{\sin}20x$$）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

以下先讓大家看一題教科書內有趣的習題：

許多美麗的波形都可由不同頻率的餘弦波疊合而成，
下圖的波形即為兩個頻率相差頗大的正弦波的乘積：$$y=2\sin{x}\cdot{\sin}20x$$，
若此波形可視為$$y=\cos(ax)-\cos(bx)$$，求正數對$$(a,b)$$。

這是一題筆者很喜歡的三角函數考題，乍看之下還挺嚇人的，不過其實只是考積化和差最基本的觀念，雖然積化和差在99課綱裡已經被刪去，但此圖的美還是有許多利用價值。

筆者在進行三角函數圖形教學時，
曾訓練學生用geogebra畫數個三角函數的基本圖形，以及其平移伸縮或加絕對值的圖形，
例：$$y=\sin{x}$$、$$y=\cos{x}$$、$$y=\tan{x}$$、$$y=2\sin(x-{\pi})$$、$$y=|\sin{x}|$$。

最後的「神祕魔王題」即為要求學生畫$$y=\sin{x}\cdot\sin{20}x$$，通常學生第一個反應都是「老師！這是DNA嗎！？」，接著他們會自動自發的把它塑造成「DNA¹」的樣子（想辦法把外面包起來），學生塑造成「DNA」的方式主要又有兩種：

第一種　利用$$y=\sin{x}$$、$$y=-{\sin}x$$：

第二種　利用$$y=|{\sin}x|$$、$$y=-|{\sin}x|$$：

為了要製造有趣的圖形，無形之中倒也把基本三角函數的圖形「玩熟」了。
有的學生很有實驗精神，自動自發另外畫了$$y=\sin{x}\cdot\sin{50}x$$、$$y=\sin{x}\cdot\sin{99}x$$，如下圖。

從 $$y=\sin{x}\cdot\sin{20}x$$ 的圖形開始，電腦教室裡充滿此起彼落的讚嘆，$$y=\sin{x}\cdot\sin{20}x$$ 點燃了學生內心的熱情，而且一發不可收拾，有興趣的人可以上網下載geogebra的程式安裝，就能夠輕鬆體會製造奇妙圖形的樂趣！

註１：此圖形並非真正的DNA形狀，只是其外貌容易讓人聯想到DNA，文中皆以DNA稱之。