為什麼要用弧度制？

為什麼要用弧度制？(Why use radians?)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯

課堂上每次教到弧度制，不管老師還是學生心底都會有股疙瘩感，\(360^\circ\) 的雲霄飛車硬要說它旋轉 \(2\pi\) 弧度（弧度兩字還經常被省略），任誰都會覺得拗口；曾經聽到有人認為：「在同一個圓內，圓心角張開的程度越大，其所對應到的弧長也越長，因此一個角所對應到的弧長，即可代表角的大小程度，所以我們可以沿用數學裡最基本的長度單位去表示角的大小，不需要另外發明新的單位。」當下有人認同有人反對，筆者倒是認為這個理由還挺有趣的；其實，許多人都曾經試圖為弧度制的存在辯駁，以下就提供各家道理供大家參考。

• 原因一　公式漂亮

毛爾 (Eli Maor) 在《毛起來說三角》中提到，弧度制大大簡化原本的弧長及扇形面積公式，如下表格，弧度制比角度制少 \(\frac{\pi}{180}\) 的因子，確實簡潔不少。

• 原因二　圖形漂亮

下圖是某個函數 \(f\) 一部分圖形，猜的到 \(f\) 是什麼嗎？

提示一：\(f\) 過 \((0,0)\)，\((90,1)\)。
提示二：\(x\) 軸的單位是角度。

提示三：若把 \(x\) 軸、\(y\) 軸的比例改為 \(100:1\)，則圖如下。

答案是否呼之欲出了呢？沒錯，函數 \(f\) 就是正弦函數，即 \(f(x)=\sin{x}\)，注意到此時 \(x\) 的單位為「度」，我們都知道正弦函數的圖形是美麗的波，但是在 \(1:1\) 的坐標平面上，以「度」為單位的圖形幾乎看不到正弦的波形；同樣是 \(1:1\) 的圖形，若 \(x\) 軸的單位改為弧度，圖形就漂亮多了，如圖三。

• 原因三　微分漂亮

最後一個理由是筆者最喜歡的理由。觀察每本課本附錄的三角函數表，左起第一行是角度，第二行是其對應的正弦值，很容易發現隨著角度變大，正弦值幾乎以線性遞增，即角度每增加 \(10’\)，正弦值增加 \(0.0029\)，更進一步，若將角度單位換成弧度：

\(1^\circ=\displaystyle\frac{\pi}{180}\)（弧度）\(\approx{0.01745329252}\)（弧度）

\(\displaystyle 10’\approx{0.01745329252}\times\frac{1}{6}={0.002908882087}\mbox{…}\approx{0.0029}\)（弧度）

觀察 \(0^\circ\sim{3^\circ}\) 的三角函數值表，會發現 \(\theta\approx\sin\theta\)，即可體會到一個重要的極限：

\(\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\)

所以也有人主張為了有此精簡的極限，我們需要弧度制，若再更仔細推敲，其實更重要的是，有人此極限後，三角函數才會有漂亮的微分公式：

\(\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x&=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\&\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2}}{h}\\&=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cos(x+\frac{h}{2})\lim_{h\to 0}\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\\&\displaystyle=\cos x\end{array}\)

即 \((\sin{x})’=\cos{x}\)。

看了這麼多「漂亮」的理由，弧度制是否也美麗了起來呢？

參考資料

1. Eli Maor。毛起來說三角。台北市：天下。