邏輯循環謬誤（On Circular fallacy）

邏輯循環謬誤（On Circular fallacy）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

有關邏輯的循環謬誤出現在非常基本的命題論證，本文提供了一般人視為理所當然的例子，供教師參考與借鑑。

美國加州公立數學課程綱要K-12的「論理嚴密」，一向廣受國內數學家推崇：因為他們指出：「數學的最重要目標，是教授學生邏輯推論。隱含在數學學習中的邏輯推理，允許我們將數學應用到很大範圍的情境上，其中有關實際問題的解答可以達到精確的程度。上了八年級以後，學生的數學敏銳度應該強化。他（她）們需要開始理解邏輯的奧妙，並體會到下結論之前實質有效的論證之需求。數學推理與概念理解不應與內容分離；它們是內稟(intrinsic) 於學生在更高層次精通的數學分科之中。」

因此，在八年級的幾何課程中，「三角形或多邊形與外接圓的關係，應該及早安排教授：在幾何課程中，似乎沒有人好好考慮將有關圓形的定理趁早引進。譬如說吧，有關在圓形中等弧對等角的一些相當特出的定理，必須在介紹完幾何公理之後三週內就呈現給學生。而這，主要的目的是證明下列兩個定理：1. 等腰三角形兩底角相等；2. 一個三角形的外角等於兩個遠內角的和。」

然而，在歐幾里得《幾何原本》(The Elements) 中，等弧對等角之相關定理，卻是安排在第III冊命題27、28與29：

• III. 27. 在等圓中，等弧上的圓心角或圓周角是彼此相等的。
• III. 28. 在等圓中等弦截出相等的弧，優弧等於優弧，劣弧等於劣弧。
• III. 29. 在等圓中，等弧所對的弦也相等。
  

現在，證明III. 27，必須依賴了I. 23、III. 20與III. 26。但是，III. 20的證明依賴了I. 5。III. 26依賴了III. 24，從而III. 10，乃至於I. 8，最後還是依賴了I. 5。至於I. 23 則是基於I. 8，於是，最終還是仰賴了I. 5。

至於I. 5（第I冊命題5）的（完整）內容，則是：「在等腰三角形中，兩底角彼此相等；並且若向下延長兩腰，則在底以下的兩角也彼此相等。」因此，若想利用III. 27來引進「等腰三角形兩底角相等」之命題，而又不想離開歐幾里得的脈絡，那麼，我們勢必無法迴避邏輯推論上的循環謬誤(circular fallacy)。再以III. 28與III. 29的證明為例，前者至少依賴了I. 8，因而一定逆推回到I. 5，於是，循環謬誤仍然無法避免。同理，證明III. 29必須依賴III. 27，於是，循環謬誤依然。

美國加州標準設計者「想當然爾」地打算及早引進三角形外接圓的進路，在邏輯嚴密上無法自圓其說。同理，如果利用作頂角平分線的圖形，來證明等腰三角形兩底角相等，則由於角平分線可作圖之命題為I.9，而I.9 必須依賴I.8，而後者則必須依賴I.5。因此，最「直觀」的證法，也陷入邏輯上的循環謬誤。

上述有關美國加州幾何課程的評論，只是想點出：數學課程之發展正如其他課程一樣，不是輕而易舉之事，針對嚴密邏輯推論的進路而言，尤其無法便宜行事，否則在不知不覺的情況下，犯了循環謬誤，那就真是不知從何說起了。

事實上，命題I.5是《幾何原本》一書四百多個命題中的第五個，而且，由於前三個命題（I.1，I.2，I.3）都是作圖題，而命題I.4是SAS全等性質，因此，命題I.5是第一個實質定理。按之《幾何原本》之理論脈絡，此一關乎對稱的命題顯然是全書（或甚至是幾何學結構）的基石。任何中學幾何課程綱要的設計者若有意強調邏輯或推論嚴密，恐怕都無法輕易移動這底蘊對稱性的命題之大位的！

參考書目：

1. Curriculum Development and Supplemental Materials Commission (CDSMC). Mathematics framework for California public schools: Kindergarten through grade twelve (revised edition). Sacramento: California Department of Education.
   
2. Heath, Thomas L. (1956). Thirteen Books of Euclid’s Elements. New York: Dover Publications, INC
   
3. 洪萬生 (2006).〈貼近《幾何原本》與HPM的啟示：以「驢橋定理」證明為例〉，洪萬生，《此０非比零》（台北：台灣商務印書館），頁216-242。