無限與集合論（The infinite and set theory）

無限與集合論（The infinite and set theory）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

集合論不只是集合的簡單運算而已，康托爾的創立此一理論之初衷，是想要藉此探索無限作為一個物件的特性。

「無限」可以區分大小等級，這是幾乎不可能想像得到的事物，因為這預設了無限可以視同為一種數學物件（mathematical object）。然而，數學史上如高斯這樣偉大的數學家都曾經只能將無限視為一種過程（process），無怪乎利用集合來表徵無限集體的康托爾（Georg Cantor），會在十九世紀下半葉，遭受到數學界那麼巨大的反撲！

事實上，無限作為一個不會結束的過程之想法，很久以來一直是個有用的數學工具。古希臘人據以處理不可公度的量以及求曲線形面積的「窮盡法」，乃至於微積分基礎概念－極限－的底層憑藉，都離不開無限的概念。然而，處理物件的無限集體，則是相當新穎的數學活動。

兩個世紀以前，偉大的歐洲數學家高斯，還非常嚴肅地表示：「我尤其反對將一個無限的量視為一個完備的(completed) 量，因為它不被數學所容許。無限只不過是一種說法(a manner of speaking) 而已。」

高斯的評論反映了遠自亞里斯多德以來有關無限的一種共同的理解。我們認識一個計數數(counting number)，是因為我們看到它，不管它多大多小，而且，我們知道沒有最大的這種數，因為我們總是可以將現有的數加上1。現在，如果將所有的計數數的集體(collection of counting number) 考慮成為一個獨特的數學物件，這樣的想法合法嗎？偉大數學家康托爾就認為如此。

康托爾在研究某些類的函數時，發現它們在定義域中忽略到有限多點或可數的無限多點時，無損於這些函數的一些特性。於是，他開始注意到將不同類型的數（譬如有理數與無理數）視為相異的數學物件的重要性。康托爾有關集合之概念相當一般而且含混：「所謂集合，我們將瞭解它是一個任意集體，由我們的直觀或思想所及的所有確定和個別的客體組合而成。」這表示數目（以及其他事物）的無限集體可以被考慮成為一個獨特的數學物件，同時，正如有限集合一樣，它們之間彼此可以比較。

尤其，這使得提問兩個集合是否具有「同樣大小」(the same size) 亦即，是否可以一一對應時，變得十分有意義。這些樸素的概念迅速地引導康托爾獲得數學思想史上最具有革命性的成果。其中，包括了許多令人驚奇的結果：

• 不是所有的無限集合都具有相同大小！（也就是說，存在有無限集合彼此之間無法被建立一一對應關係。）
• 無理數的集合比有理數集合來得大。
• 一個集合的所有部份集合所成的集合，比該集合本身來得大。
• 數線上任意區間（無論多短）內的點之集合，與這一數線上所有點的集合擁有同樣大小。
• 平面或三維空間或 $$n$$ 維空間（$$n$$ 為任意自然數）上的所有點之集合，與一條（單一）線上所有點的集合擁有同樣大小。

康托爾出發點的抽象單純性，讓他的集合論可應用到整個數學領域。這也使得此一令人驚奇的結果非常難以忽略，儘管它看起來違反了大部分數學家對於他們的本行之常識性理解。

康托爾的研究成果雖然得到數學社群很多成員的青睞，不過，其接受度絕非普遍。他有關無限的集合論式處理，招惹了某些同時代主要數學家，最有名的如考納克(Leopold Kronecker) －柏林大學傑出數學教授－ 的激烈反對。考納克研究數學的進路，是奠基於一個前提，那就是：一個數學物件不會存在，除非它是經由有限多次的步驟實際建構(actually constructible) 而成。基於此一觀點，無限集合並不存在，因為顯然無法在有限多次的步驟中，建構無限多的元素。自然數是「無限的」，只意指目前所建構的自然數之有限集體，可以延伸到我們喜歡多遠就有多遠，至於「所有自然數的集合」則不是一個合法的數學概念(legitimate mathematical concept)。對考納克及分享他的觀點的那些人來說，康托爾的研究是一種異端。

考納克的擔憂，在集合論出現了很多悖論之後，顯得頗有說服力。這些悖論中最著名的，莫過於羅素（Russel）在1919年所給出的那一個：「在某村莊中有一位理髮師宣稱：他替全村民中那些不自己刮鬍子的人刮鬍子。如果他的宣稱為真，則這位理髮師會為自己刮鬍子嗎？ 」運用一種稍微多一點形式的術語來說，這位刮鬍子的理髮師本身也是村民，那麼，他是不是所有不自己刮鬍子的村民所成的集合中的一個成員？如果他是，那麼，他就不可能自己刮鬍子，但是，由於他刮了所有不替自己刮鬍子的村民，所以，他終究不在本集合中。另一方面，如果他不在本集合中，那麼，他就會自刮鬍子，然而，他只替那些不自己刮鬍子的人刮鬍子，因此，他必定不刮自己的鬍子，於是，他在本集合中。看起來，在這個自相矛盾的邏輯迴圈中，根本沒有出路。像這樣的兩難之局，逼迫十九世紀末、二十世紀初的數學家著手進行了一個有關康托集合論的徹底修訂，企圖避免於這種自相矛盾的險境。

儘管有這一初期的不安，康托爾的研究工作還是極其正面地影響了數學家。他的基礎集合論已經為包括機率、幾何以及代數等許多不同的數學領域，提供了一個簡單、統合的進路。而且，在他的研究之某些早期延拓中所遭遇的奇怪悖論，激勵數學家依序安頓它們的邏輯位置。他們針對數學的邏輯基礎所做的細心檢視，已經引出了許多新穎的結論，並且為甚至更抽象的統合理念，鋪設了康莊大道。

參考書目：

1. 比爾‧柏林霍夫 / 佛南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。
2. 齊斯‧德福林 (2011).《數學的語言》，台北：商周出版社。
3. 瑞赫德‧庫蘭特、賀伯斯‧羅賓斯、伊恩‧史都華 (2010/2011).《數學是什麼？》（上）（下），新北市：左岸文化出版社。